《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

3. (冀教八下练习改编)如图所示,将一张矩形纸片沿虚线对折两次,当剪刀与纸片的夹角$\angle ABC = 45^{\circ}$时,已知$AB = 4\mathrm{cm}$,则剪下来图形的周长为 (D)

A.$4\mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{2}\mathrm{cm}$
C.$16\mathrm{cm}$
D.$16\sqrt{2}\mathrm{cm}$

答案： 3. D

4. (人教八下习题改编)如图,四边形$ABCD$是平行四边形,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,下列条件能判断四边形$ABCD$是正方形的是 (D)

A.$AC = DB$且$DA\perp AB$
B.$AB = BC$且$AC\perp BD$
C.$AB = BC$且$\angle ABD = \angle CBD$
D.$DA\perp AB$且$AC\perp BD$

答案： 4. D

5. (人教八下习题改编)如图,在正方形$ABCD$中,$AB = 2$,$E$为$BC$的中点,连接$BD$,$DE$,求$\tan\angle BDE$的值为 (C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 5. C

6. (人教八下习题改编)如图,$E$,$F$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上的两点,$BD = 10$,$DE = BF = 2$,则四边形$AECF$的周长等于 (D)

A.$20$
B.$20\sqrt{2}$
C.$30$
D.$4\sqrt{34}$

答案： 6. D

例 一题多设问 如图①,四边形$ABCD$是矩形,点$E$,$F$分别在边$BC$,$CD$上,连接$AE$,$BF$交于点$O$,且$AE\perp BF$,$AE = BF$.
(1)求证:四边形$ABCD$是正方形;

(2)若$E$是$BC$的中点.
①如图②,$B'$是点$B$关于$AE$的对称点,连接$AB'$,$B'E$,求$\sin\angle EB'O$的值;

②如图③,连接$DO$并延长交$BC$于点$H$,求$\frac{BH}{CH}$的值;

模型分析
正方形十字模型:

(1)模型特点:$AE\perp BF$且$AE = BF$;
(2)结论:$\triangle ABF\cong\triangle DAE$;
(3)构图方法:分别过$E$,$G$作$AB$,$AD$的垂线,易得$\triangle NGF\cong\triangle MEA$.

(3)如图④,连接$CO$,若$AB = 10$.
①当$\frac{BO}{FO} = \frac{2}{3}$时,求$CO$的长;

②求$CO$的最小值.

答案： 例
(1) 证明略；
(2) ①$\sin \angle EB'O$的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
②$\frac{BH}{CH}$的值为$\frac{1}{3}$；
(3) ①$CO$的长为$2\sqrt{10}$；
②$CO$的最小值为$5\sqrt{5}-5$。