《2025年新课堂同步学习与探究七年级数学上册人教版》

3. 一个多项式含有几项,就叫几项式. 多项式里次数最高项的次数,就是这个多项式的次数. 例如:多项式$3x^{2} - 2x + 5$是一个二次三项式.

答案： 答题卡填入内容如下：
该题目为定义说明题，无需计算，答案（结论）为：
多项式项数：多项式中包含的单项式个数即为几项式；
多项式次数：多项式中次数最高的单项式的次数即为该多项式的次数；
举例：多项式 $3x^{2} - 2x + 5$ 是一个二次三项式。

4. 单项式与多项式统称为整式.

答案： 4. 整式的定义：单项式与多项式统称为整式。

【例1】下列整式中,哪些是单项式?哪些是多项式?是单项式的指出系数和次数,是多项式的指出项和次数.
$- \frac {1}{2}a^{b},\frac {m^{4}n^{2}}{7},x^{2} + y^{2} - 1,x,32t^{3},\frac {π}{3},3x^{2} - y + 3xy^{3} + x^{4} - 1,2x - y$
注意:(1)多项式的各项应包括它们前面的符号;(2)多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数也包括前面的符号;(3)要确定一个多项式的次数,先要确定此多项式中各项(单项式)的次数,然后找次数最高的;(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.

答案： 单项式：
$-\frac{1}{2}a^2b$：系数$-\frac{1}{2}$，次数3；
$\frac{m^4n^2}{7}$：系数$\frac{1}{7}$，次数6；
$x$：系数1，次数1；
$32t^3$：系数32，次数3；
$\frac{\pi}{3}$：系数$\frac{\pi}{3}$，次数0。
多项式：
$x^2 + y^2 - 1$：项$x^2$，$y^2$，$-1$；次数2；
$3x^2 - y + 3xy^3 + x^4 - 1$：项$3x^2$，$-y$，$3xy^3$，$x^4$，$-1$；次数4；
$2x - y$：项$2x$，$-y$；次数1。

【例2】判断下列说法是否正确.
(1)多项式$a^{3} - a^{2}b + ab^{2} - b^{3}$的项为$a^{3},a^{2}b,ab^{2},b^{3}$,次数为12. (×)
(2)多项式$3n^{4} - 2n^{2} + 1$的次数为4,常数项为1. (√)

答案：
(1)×
(2)√

【例3】如果整式$x^{n - 2} - 5x + 2$是关于$x$的三次三项式,那么$n$等于(C).

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C

变式:(1)若关于$x,y$的多项式$(a - 2)x^{2} + (2b + 1)xy - x + y - 7$中不含二次项,则$ab$的值为.
(2)已知$-5x^{m} + 10^{4}x^{m} - 4x^{m}y^{2}$是关于$x,y$的六次多项式,求$m$的值,并写出该多项式.

答案：
(1)$-1$
(2)$m$的值为$4$，该多项式为$-5x^{4}+10^{4}x^{4}-4x^{4}y^{2}$

1. 下列代数式中,哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式?
$xy + z,ax^{2} + bx,-1,π,\frac {x + 1}{2},\frac {y - 1}{x}$
整式:;
单项式:;
多项式:.

答案： 整式：$xy + z$，$ax^{2} + bx$，$-1$，$\pi$，$\frac {x + 1}{2}$；
单项式：$-1$，$\pi$；
多项式：$xy + z$，$ax^{2} + bx$，$\frac {x + 1}{2}$。

2. 用整式填空,指出单项式的系数、次数以及多项式的项和次数.
(1)某种苹果的售价是每千克$x$元,用面值是50元的人民币购买6千克,要花费6x元,应找回50-6x元.
(2)用式子表示圆环的面积:.

(3)某种商品的原价每件为$b$元,第1次降价打8折,第2次降价每件又减10元,第1次降价后的售价是0.8b元,第2次降价后的售价是0.8b-10元.

答案：
(2)πR²-πr²
(3)0.8b (0.8b-10)