《2025年新课堂同步学习与探究七年级数学上册人教版》

【例1】指出下列式子的底数、指数，并说出它们的意义.
(1)$7^{4}$ (2)$-5^{4}$ (3)$(-5)^{4}$
(4)$\dfrac{2^{3}}{3}$ (5)$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}$ (6)$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{5}$
注意：特别地，一个数也可以看作这个数本身的一次方，即$a^{1}=$. 例如：5就是5的一次，即$5^{1}=5$，指数为1通常不写.

答案：
(1)底数：7，指数：4，意义：4个7相乘。
(2)底数：5，指数：4，意义：4个5相乘的相反数。
(3)底数：-5，指数：4，意义：4个-5相乘。
(4)底数：2，指数：3，意义：3个2相乘的积除以3。
(5)底数：$\dfrac{2}{3}$，指数：3，意义：3个$\dfrac{2}{3}$相乘。
(6)底数：$-\dfrac{1}{3}$，指数：5，意义：5个$-\dfrac{1}{3}$相乘。
$a$；省略

【例2】计算.
(1)$2^{6}$ (2)$6^{2}$
(3)$(-3)^{4}$ (4)$-3^{4}$
(5)$(-4)^{3}$ (6)$-4^{3}$
想一想：(1)与(2)的结果一样吗？(3)与(4)的结果一样吗？(5)与(6)的结果一样吗？为什么？

答案：
(1)
$2^{6}=2×2×2×2×2×2 = 64$
(2)
$6^{2}=6×6 = 36$
(3)
$(-3)^{4}=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$
(4)
$-3^{4}=- (3×3×3×3)=-81$
(5)
$(-4)^{3}=(-4)×(-4)×(-4)=-64$
(6)
$-4^{3}=-(4×4×4)=-64$
想一想：
(1)与
(2)的结果不一样。因为$2^{6}$表示$6$个$2$相乘，$6^{2}$表示$2$个$6$相乘。
(3)与
(4)的结果不一样。
(3)中底数是$-3$，指数是$4$，表示$4$个$-3$相乘；
(4)中底数是$3$，指数是$4$，再取其相反数。
(5)与
(6)的结果一样（此处结果数值相等，但意义不同），
(5)中底数是$-4$，指数是$3$，表示$3$个$-4$相乘；
(6)中底数是$4$，指数是$3$，再取其相反数，计算结果都为$-64$。

【例3】计算.
(1)$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}$ (2)$\dfrac{3^{3}}{5}$
想一想：(1)与(2)的结果一样吗？

答案：
(1)
$\begin{aligned}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3} &= \dfrac{3}{5} × \dfrac{3}{5} × \dfrac{3}{5} \\&= \dfrac{3 × 3 × 3}{5 × 5 × 5} \\&= \dfrac{27}{125}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\dfrac{3^{3}}{5} &= \dfrac{3 × 3 × 3}{5} \\&= \dfrac{27}{5}\end{aligned}$
想一想：
(1)的结果是$\dfrac{27}{125}$，
(2)的结果是$\dfrac{27}{5}$，所以
(1)与
(2)的结果不一样。

【例4】计算.
(1)$(-1)^{10}$ (2)$(-1)^{7}$
(3)$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{4}$ (4)$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}$
议一议：负数的幂的符号如何确定？
总结：正数的任何次幂都是；负数的奇次幂是，偶次幂是；0的任何正整数次幂都是.
国王的国库里到底有没有这么多的米呢？你现在明白了吗？

答案：
(1)
$(-1)^{10}=1$
(2)
$(-1)^{7}=-1$
(3)
$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}$
(4)
$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=-\dfrac{1}{32}$
议一议：负数的幂的符号如何确定？
总结：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。

1. $\pm7$的平方等于49.

答案： 1. $\pm7$

2. $(-6)^{2}$的底数是$-6$，指数是$2$，$(-6)^{2}=$$36$.

答案： 2. $-6$ $2$ $36$

3. $3^{4}$表示$4$个$3$相乘.

答案： 3. $4$ $3$

4. $(-2)^{3}=$$-8$，$1^{2022}-(-1)^{2021}=$$2$，$-1^{4}+1=$$0$.

答案： 4. $-8$ $2$ $0$