《2025年新课堂同步学习与探究七年级数学上册人教版》

2. 用字母表示下列图形的周长与面积公式：

答案： | 图形 | 周长 | 面积 |
| --- | --- | --- |
| 正方形 (边长为 $a$) | $4a$ | $a^2$ |
| 长方形 (长为 $a$, 宽为 $b$) | $2(a + b)$ | $ab$ |

3. 用字母表示数的例子过去学过很多，你还能举出几个吗？

答案： 1. 长方形的长为$a$，宽为$b$，面积表示为$ab$；
2. 圆的半径为$r$，周长表示为$2\pi r$；
3. 一个数为$x$，它的3倍与5的和表示为$3x + 5$；
4. 小明今年$m$岁，爸爸比他大28岁，爸爸今年的年龄表示为$m + 28$；
5. 每支铅笔$n$元，买10支铅笔的总价表示为$10n$。

1. 探究月历：
（1）月历中一行连续$3$个数之间有何关系？一列上、下$3$个数之间有何关系？用方框任意框住的$4$个数有什么关系？
（2）根据所发现的规律填表：

答案： （1）在月历中：
一行连续$3$个数，设第一个数为$n$，则后面两个数依次为$n + 1$，$n + 2$，即后一个数比前一个数大$1$；
一列上、下$3$个数，设第一个数为$m$，则下面两个数依次为$m + 7$，$m + 14$，即下一个数比上一个数大$7$；
用方框任意框住的$4$个数，设左上角的数为$x$，则它右边的数为$x + 1$，它下面的数为$x + 7$，右下角的数为$x + 8$，即右边数比左边数大$1$，下面数比上面数大$7$，右下角数比左上角数大$8$。
（2）根据上述规律：
第一个方框：$9$右边是$9 + 1=10$，$9$下面$9 + 7 = 16$，$16$右边$16+1 = 17$；
第二个方框：$21$左边$21 - 1=20$，$21$下面$21 + 7 = 28$，$20$下面$20 + 7 = 27$；
第三个方框：$a$右边$a + 1$，$a$下面$a + 7$，$a + 7$右边$a + 8$。
填表如下：
| 9 | 10 |
| -- | -- |
| 16 | 17 |
| 20 | 21 |
| -- | -- |
| 27 | 28 |
| $a$ | $a + 1$ |
| -- | -- |
| $a + 7$ | $a + 8$ |

2. 用火柴棒拼小鱼：

拼$1$条小鱼用根火柴棒，
拼$2$条小鱼用根火柴棒，
拼$3$条小鱼用根火柴棒，
拼$20$条小鱼用根火柴棒，
拼$n$条小鱼用根火柴棒.

答案： 拼1条小鱼用8根火柴棒，
拼2条小鱼用14根火柴棒，
拼3条小鱼用20根火柴棒，
拼20条小鱼用122根火柴棒，
拼n条小鱼用$6n + 2$根火柴棒。

3. 探究拼图：
用同样大小的小正方形纸片按以下方式拼大正方形.

第$1$个图形有$1$个小正方形；
第$2$个图形比第$1$个图形多个小正方形；
第$3$个图形比第$2$个图形多个小正方形；
第$4$个图形比第$3$个图形多个小正方形.
解答下列问题：
(1)第$10$个图形比第$9$个图形多个小正方形.
(2)第$100$个图形比第$99$个图形多个小正方形.
(3)第$n$个图形比第$(n - 1)$个图形多个小正方形.
(4)你还有什么发现？

答案： 3；5；7
(1)19
(2)199
(3)2n - 1
(4)第n个图形中小正方形的总个数为n²个（答案不唯一，合理即可）
解析：
假设第n个图形是由n×n的小正方形组成的大正方形，则小正方形的总个数为n²个。
第1个图形：1²=1个；
第2个图形：2²=4个，比第1个多4-1=3个；
第3个图形：3²=9个，比第2个多9-4=5个；
第4个图形：4²=16个，比第3个多16-9=7个；
规律：第n个图形比第(n-1)个图形多的小正方形个数为n² - (n-1)² = 2n - 1。
(1)第10个比第9个多：2×10 - 1=19；
(2)第100个比第99个多：2×100 - 1=199；
(3)第n个比第(n-1)个多：2n - 1；
(4)发现：第n个图形中小正方形的总个数为n²个。

【例$1$】小明今年为$n$岁，两年前为(n-2)岁，五年后为(n+5)岁.

答案： 【例1】(n-2) (n+5)

【例$2$】圆柱的底面半径为$r$，高为$h$，则体积为\pi r^{2}h.

答案： 【例$2】\pi r^{2}h$

【例$3$】一件羊毛衫标价为$a$元，若按标价的$7$折出售，则这件羊毛衫的售价是0.7a元.

答案： 【例3】0.7a

【例$4$】如图，用小棒搭正方形：

搭$1$个正方形需要4根小棒；
搭$2$个正方形需要7根小棒；
搭$10$个正方形需要31根小棒；
搭$2014$个正方形需要6043根小棒；
搭$n$个正方形需要(3n+1)根小棒.

答案： 【例4】4 7 31 6043 (3n+1)