《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

1.本章主要学习了相似三角形的性质、判定及其在解决实际问题中的应用，还学习了一种特殊的相似图形的性质，即位似图形的性质.
2.相似三角形的判定方法有：两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
3.相似三角形的性质有：相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

答案： 1. 位似图形的性质；2. 两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似；3. 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

例　如图，点$P$为正方形$ABCD$内一点，且$\angle APB = 90^{\circ}$.延长$AP$交直线$CD$于点$M$，延长$CP$，$DP$分别交直线$AB$于点$E$，$F$.
(1)求证$\frac{AE}{CM}=\frac{AF}{DM}$.
(2)求证$EF^{2}=AF· BE$.

答案： 分析：第
(1)问用位似图形的性质易证；第
(2)问根据第
(1)问的思路，将线段比进行转化，再利用条件$\angle APB = 90^{\circ}$，证明$\triangle BNC \backsim \triangle MAD$即可.
证明：
(1)$\because AF// DM$，
$\therefore \angle F = \angle FDM$，$\angle FAP = \angle M$，$\angle AEP = \angle MCP$，
$\therefore \triangle AEP \backsim \triangle MCP$，$\triangle AFP \backsim \triangle MDP$.
$\therefore \frac{AE}{CM}=\frac{AP}{PM}=\frac{AF}{DM}$.

(2)延长$BP$交$DM$于点$N$.
由
(1)可得$\frac{EF}{CD}=\frac{FP}{PD}=\frac{AF}{DM}$，$\because \frac{EF}{AF}=\frac{CD}{DM}=\frac{AD}{DM}$.
同理$\frac{EF}{CD}=\frac{FP}{PD}=\frac{EB}{CN}$，$\therefore \frac{EB}{EF}=\frac{CN}{CD}=\frac{CN}{BC}$.
又$\because \angle APB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle PNM = \angle DAP$，$\therefore \triangle BNC \backsim \triangle MAD$.
$\therefore \frac{CN}{BC}=\frac{AD}{DM}$，$\therefore EF^{2}=AF· BE$.