《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

12.(1)如图①，在$\bigtriangleup ABC$中，$O$是$AC$上一点，过点$O$的直线与$AB$，$BC$的延长线分别相交于点$M$，$N$.
①若$O$是$AC$的中点，$\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$，求$\frac{CN}{BN}$的值.
(提示：过点$A$作$MN$的平行线交$BN$的延长线于点$G$.)
②若$O$是$AC$上任意一点(不与点$A$，$C$重合)，求证$\frac{AM}{MB} · \frac{BN}{NC} · \frac{CO}{OA} = 1$.
(2)如图②，$P$是$\bigtriangleup ABC$内任意一点，射线$AP$，$BP$，$CP$分别交$BC$，$AC$，$AB$于点$D$，$E$，$F$，若$\frac{AF}{BF} = \frac{1}{3}$，$\frac{BD}{CD} = \frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{CE}$的值.

答案： $12.(1)①\frac{1}{3}.$　　
$②$由$\frac{NG}{BN}=\frac{AM}{MB},\frac{CO}{AO}=\frac{CN}{NG}$知$\frac{AM}{MB}·\frac{BN}{NC}·\frac{CO}{OA}=$　　
$\frac{NG}{BN}·\frac{BN}{NC}·\frac{CN}{NG}=1.$　　
$ (2)$由$②$知$,$在$△ACD$中有$\frac{AE}{EC}·\frac{BC}{BD}·\frac{DP}{PA}=1, $　　
在$△ABD$中有$\frac{AF}{BF}·\frac{BC}{CD}·\frac{DP}{PA}=1,$　　
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{BF}, $　　
$\frac{BC}{CD}·\frac{BD}{BC}=\frac{AF}{BF}·\frac{BD}{CD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$　　

1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.如在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，若$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，则$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$.
2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.如在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，若$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，$\angle A = \angle D$，则$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$.

答案： 1. $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$；2. $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，$\angle A = \angle D$

例 如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC=2$，$\angle A=30^{\circ}$，点$E$，$F$分别是线段$BC$，$AC$的中点，连接$EF$.
(1)线段$BE$与$AF$的位置关系是互相垂直，$\frac{AF}{BE}=$$\sqrt{3}$.
(2)如图②，当$\triangle CEF$绕点$C$顺时针旋转$\angle \alpha(0^{\circ}＜\angle \alpha＜180^{\circ})$时，连接$AF$，$BE$，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

答案：
(1)互相垂直；$\sqrt{3}$.
(2)此时
(1)中结论仍然成立，证明如下：$\because$如图②，由图形旋转性质可知$EC=\frac{1}{2}BC$，$FC=\frac{1}{2}AC$，$\therefore \frac{EC}{BC}=\frac{FC}{AC}=\frac{1}{2}$.$\because \angle BCE=\angle ACF=\angle \alpha$，$\therefore \triangle BEC \backsim \triangle AFC$.$\therefore \frac{AF}{BE}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，$\angle 1=\angle 2$.延长$BE$交$AC$于点$O$，交$AF$于点$M$.$\because \angle BOC=\angle AOM$，$\angle 1=\angle 2$，$\therefore \angle BCO=\angle AMO=90^{\circ}$，$\therefore BE \perp AF$.