《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

如果两个三角形有两组对应角相等，那么这两个三角形相似.如在$\triangle ABC$
和$\triangle DEF$中，若,则$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$.

答案： $\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle E$

例 1 如图，在$\triangle ABC$中，$AE$交$BC$于点$D$，$\angle C=\angle E$，$AE = 8$，
$BD = 4$，$AD:DE = 3:5$，则$DC$的长等于().

A.$\frac {15}{4}$
B.$\frac {12}{5}$
C.$\frac {20}{3}$
D.$\frac {17}{4}$

答案： $\because \angle C = \angle E$，$\angle ADC = \angle BDE$，
$\therefore \triangle ADC \backsim \triangle BDE$，
$\therefore \frac{DC}{DE} = \frac{AD}{BD}$．
$\because AD:DE = 3:5$，$AE = 8$，
$\therefore AD = \frac{3}{3 + 5} × 8 = 3$，$DE = 8 - 3 = 5$．
$\because BD = 4$，
$\therefore \frac{DC}{5} = \frac{3}{4}$，
$\therefore DC = \frac{15}{4}$．
故选 A．

例 2 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是$\angle BAC$的平分线，
$AD$的垂直平分线交$AD$于点$E$，交$BC$的延长线于点$F$.
求证$FD^{2} = FB· FC$.

答案： 连接AF.
∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，∠FAD=∠FDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠2=∠3.
∵∠FDA是△ABD外角，
∴∠FDA=∠B+∠3.
∵∠FAD=∠1+∠2，∠FAD=∠FDA，
∴∠1+∠2=∠B+∠3.
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠B.
∵∠AFB=∠CFA，∠1=∠B，
∴△ACF∽△BAF.
∴AF/FB=FC/AF，
∴AF²=FB·FC.
∵AF=DF，
∴FD²=FB·FC.

（武汉中考）在$\triangle ABC$中，$P$为边$AB$上一点.

(1)如图①，若$\angle ACP = \angle B$，求证$AC^{2} = AP· AB$.
(2)若$M$为$CP$的中点，$AC = 2$.
①如图②，若$\angle PBM = \angle ACP$，$AB = 3$，求$BP$的长.
②如图③，若$\angle ABC = 45°$，$\angle A = \angle BMP = 60°$，求$BP$的长.

答案：
(1)证明见解析；
(2)①$\sqrt{5}$；②$\sqrt{7}-1$。