《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

2.(德州中考)有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数$y = \frac{1}{k}x$与$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数$y = \frac{1}{k}x$与$y = \frac{k}{x}$，当$k ＞ 0$时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程.
(1)如图，设函数$y = \frac{1}{k}x$与$y = \frac{k}{x}$图象的交点为$A,B$.已知点$A$的坐标为$( - k, - 1)$，则点$B$的坐标为.
(2)若点$P$为第一象限内双曲线上不同于点$B$的任意一点.
①设直线$PA$交$x$轴于点$M$，直线$PB$交$x$轴于点$N$，求证$PM = PN$.
证明过程如下：设$P(m,\frac{k}{m})$，直线$PA$的解析式为$y = ax + b(a \neq 0)$.

所以，直线$PA$的解析式为.
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.
②当点$P$的坐标为$(1,k)(k \neq 1)$时，判断$\bigtriangleup PAB$的形状，并用含$k$的代数式表示$\bigtriangleup PAB$的面积.

答案：
(1)$(k,1)$
(2)①$\frac{1}{m}$；$\frac{k}{m}-1$；$y=\frac{1}{m}x+\frac{k}{m}-1$
证明：令$y=0$，则$\frac{1}{m}x+\frac{k}{m}-1=0$，解得$x=m-k$，$\therefore M(m-k,0)$
过点$P$作$PH\perp x$轴于点$H$，则$H(m,0)$
$\therefore MH=m-(m-k)=k$
同理可得直线$PB$解析式为$y=-\frac{1}{m}x+\frac{k}{m}+1$，令$y=0$得$x=m+k$，$\therefore N(m+k,0)$
$\therefore NH=(m+k)-m=k$
$\therefore MH=NH$，又$PH\perp MN$，$\therefore PM=PN$
②$\triangle PAB$为直角三角形
当$k＞1$时，$S_{\triangle PAB}=k^{2}-1$；当$0＜k＜1$时，$S_{\triangle PAB}=1-k^{2}$