《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例 在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$AD$边上的点，$DE$与$CF$交于点$G$.
(1)如图①，若四边形$ABCD$是矩形，且$DE\perp CF$，求证$\frac{DE}{CF} = \frac{AD}{CD}$.
(2)如图②，若四边形$ABCD$是平行四边形，试探究：当$\angle B$与$\angle EGC$满足什么关系时，使得$\frac{DE}{CF} = \frac{AD}{CD}$成立？并证明你的结论.
(3)如图③，若$BA = BC = 6$，$DA = DC = 8$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$DE\perp CF$，请直接写出$\frac{DE}{CF}$的值.

答案：
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°。
∵DE⊥CF，
∴∠DGC=90°，
∴∠DCF+∠CDG=90°。
∵∠ADE+∠CDG=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠DCF。
∵∠A=∠ADC=90°，
∴△ADE∽△DCF（AA）。
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$。
(2) 当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立。
证明：延长AD至点M，使CM=CF，连接CM，则∠CMF=∠CFM。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠A=∠CDM，∠B+∠BCD=180°。
∵∠B+∠EGC=180°，∠EGC=∠FGD，
∴∠B=∠FGD。
∵∠FGD+∠GDF+∠GFD=180°，∠B+∠BCD=180°，
∴∠GDF+∠GFD=∠BCD=∠A。
∵∠AED=180°-∠A-∠ADE=180°-∠A-∠GDF=∠GFD=∠CFM=∠CMF，
又∠A=∠CDM，
∴△ADE∽△DCM（AA）。
∴$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{CD}$，
∵CM=CF，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$。
(3)$\frac{25}{24}$