《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

2.（南京中考）在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，点$D$为$AB$的中点，点$M$为射线$AC$上一点，点$N$为射线$CB$上一点，且$DM \perp DN$.
(1) 如图①，①求证$\frac{DM}{DN} = \frac{BC}{AC}$；②若$BC = 6$，$AC = 8$，$CM = 5$，直接写出$CN$的长.
(2) 如图②，过点$M$作$MG \perp AB$于点$G$，点$H$在$AB$的延长线上，且$BH = DG$，试判断$NH$与$AB$的位置关系，并说明理由.

答案：
(1)①证明：过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q。
∵∠C=90°，DP⊥BC，DQ⊥AC，
∴四边形DQCP为矩形，∠QDP=90°。
∵D为AB中点，
∴DQ、DP分别为△ABC中位线，
∴DQ=1/2BC，DP=1/2AC。
∵DM⊥DN，
∴∠MDN=90°=∠QDP，
∴∠MDQ=∠NDP。
又∠DQM=∠DPN=90°，
∴△DMQ∽△DNP，
∴DM/DN=DQ/DP=(1/2BC)/(1/2AC)=BC/AC。
②解：
∵AC=8，BC=6，
∴DQ=3，DP=4，Q为AC中点（AQ=QC=4），P为BC中点（CP=3）。
∵CM=5，M在AC上，
∴AM=AC-CM=3，MQ=AQ-AM=4-3=1。
由△DMQ∽△DNP，得MQ/NP=DQ/DP=3/4，即1/NP=3/4，
∴NP=4/3。
∴CN=CP-NP=3-4/3=5/3。
(2)NH⊥AB。
理由：过点D作DQ⊥AC于Q，DP⊥BC于P。
由
(1)①得DM/DN=BC/AC。
∵MG⊥AB，∠AGM=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AMG∽△ABC，
∴MG/AG=BC/AC=DM/DN。
∵D为AB中点，AD=DB，BH=DG，
∴AG=AD+DG=DB+BH=DH。
∴MG/DH=DM/DN，∠MGD=90°，∠MDN=90°，∠DMG=∠NDH。
∴△MDG∽△DNH，
∴∠DHN=∠MGD=90°，
∴NH⊥AB。