《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

18. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$是$AD$上一点，延长$CE$到点$F$，使$\angle FBC = \angle DCE$.
(1) 求证$\angle D = \angle F$.
(2) 用直尺和圆规在$AD$上作出一点$P$，使$\triangle BPC \backsim \triangle CDP$(保留作图的痕迹，不写作法).

答案：
证明：
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD//BC

∴∠DEC=∠FCB

∵∠FBC=∠DCE

∴∠D=∠F

(2)如图,点P为所作.(提示:利用圆周角定理作∠BPC = ∠F.)

19. 如图，在$ Rt \triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°$，点$D$是$AC$上一点，$\angle ABD = \angle C$，直线$EF$过点$D$，与$BA$的延长线相交于点$F$，且$EF \perp BC$，垂足为$E$.
(1) 写出图中所有与$\triangle ABD$相似的三角形.
(2) 探索：设$\frac{AC}{AB} = t$，是否存在这样的$t$值，使得$\triangle ADF \backsim \triangle EDB$？说明理由.

答案： 解：$(1)△ACB，$$△EFB，$$△AFD，$$△ECD$都与$△ABD$相似　　
$(2)t=\sqrt {3}$时，$△ADF∽△EDB，$理由如下：　　
∵$\frac {AC}{AB}=\sqrt {3}$
∴$AB=\frac 12BC$　　
∴$∠C=30°$　　
∵$∠ABD=∠C=30°$
∴$∠DBE=30°$　　
∵$∠ADF=∠CDE$
∴$∠F=∠C=30°$　　
∴$∠F=∠DBE$　　
又
∵$∠DAF=∠DEB=90°$
∴$△ADF∽△EDB$　　

20. 如图，在锐角三角形纸片$ABC$中，$AC ＞ BC$，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$，$CA$上，且$DE // AC$，$DF // BC$.
(1) 判断：四边形$DECF$一定是什么形状的四边形？
(2) 探索：当$AC = 24 cm$，$BC = 20 cm$，$\angle ACB = 45°$时，如何剪四边形$DECF$，使它的面积最大？证明你的结论.

答案：

解：$(1)$
∵$DE//AC，$$DF//BC$　　

∴四边形$DECF$一定是平行四边形　　

$(2)$
∵$DF//BC$　　

∴$△ADF∽△ABC$　　

∴$\frac {S_{△ADF}}{S_{△ABC}}={(\frac {AF}{AC})}^{2}$　　

∴$S_{△ADF}=\frac {{AF}^{2}}{{AC}^{2}}S_{△ABC}$　　

同理可得，　　

$S_{△BDE}=\frac {{DE}^{2}}{{AC}^{2}}·S_{△ABC}$　　

∵四边形$DECF$为平行四边形　　

∴$DE=CF$　　

∴$S_{△BDE}=\frac {{CF}^{2}}{{AC}^{2}}·S_{△ABC}$　　

∴$S_{△ADF}+S_{△BDE}=\frac {{AF}^{2}+{CF}^{2}}{{AC}^{2}}·S_{△ABC}$　　

设$AF=x cm，$则$CF=(24-x) cm，$　　

${AF}^{2}+{CF}^{2}={x}^{2}+{(24-x)}^{2}$　　

$=2{x}^{2}-48x+576$　　

当$x=12，$即$F$是$AC$的中点时，　　

$S_{△ADF}+S_{△BDE}$最小，　　

四边形$DECF$的面积最大