《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例 如图，在$□ ABCD$ 中，$AM \perp BC$，$AN \perp CD$，垂足分别为$M$，$N$，求证$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC}$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC。
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∴△AMB∽△AND（AA）。
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}$，
∵AD=BC，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$。①
∵AD//BC，AM⊥BC，
∴∠DAM=∠AMB=90°，
∴∠MAN=90°-∠DAN。
∵∠D=90°-∠DAN（Rt△AND中两锐角互余），
∴∠MAN=∠D，
∵∠D=∠B，
∴∠MAN=∠B。②
由①②得△AMN∽△BAC（SAS），
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{AC}$。

1.（青岛中考）如图，设$P$是等边三角形$ABC$的一边$BC$上的任意一点，连接$AP$，它的垂直平分线分别交$AB$，$AC$于点$M$，$N$，求证$BP · PC = BM · CN$.

答案： 证明：
∵MN是AP的垂直平分线，
∴MA=MP，NA=NP（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，∠BAC=60°。
设∠MAP=∠MPA=γ（MA=MP，等边对等角），∠NAP=∠NPA=δ（NA=NP，等边对等角），
则γ+δ=∠BAC=60°，故∠MPN=∠MPA+∠NPA=γ+δ=60°。
在△BMP中，∠B=60°，
∴∠BPM=180°-∠B-∠BMP=120°-∠BMP（三角形内角和定理）。
在△CNP中，∠C=60°，
∴∠CNP=180°-∠C-∠CPN=120°-∠CPN（三角形内角和定理）。
∵B，P，C共线，
∴∠BPM+∠MPN+∠CPN=180°（平角定义）。
又∠MPN=60°，
∴∠BPM+∠CPN=120°。
将∠BPM=120°-∠BMP代入上式，得120°-∠BMP+∠CPN=120°，
∴∠CPN=∠BMP。
在△MPB和△PNC中，
∵∠B=∠C=60°，∠BMP=∠CPN，
∴△MPB∽△PNC（两角对应相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{BP}{CN}=\frac{BM}{PC}$（相似三角形对应边成比例），
∴BP·PC=BM·CN。
结论得证。