《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

21. 已知锐角三角形$ABC$中，边$BC$的长为$12$，高$AD$的长为$8$.
(1) 如图，矩形$EFGH$的边$GH$在$BC$边上，其余两个顶点$E$，$F$分别在$AB$，$AC$边上，$EF$交$AD$于点$K$.
① 求$\frac{EF}{AK}$的值.
② 设$EH = x$，矩形$EFGH$的面积为$S$，求$S$与$x$的函数解析式，并求$S$的最大值.
(2) 若$AB = AC$，正方形$PQMN$的两个顶点在$\triangle ABC$一边上，另两个顶点分别在$\triangle ABC$的另两边上，直接写出正方形$PQMN$的边长.

答案：

解：$(1)①$
∵四边形$EFGH$为矩形　　

∴$EF//BC$　　

∴$\frac {EF}{BC}=\frac {AK}{AD}$　　

∴$\frac {EF}{AK}=\frac {BC}{AD}=\frac {12}8=\frac 3 2$　　

$②$
∵$EH=x$　　

∴$KD=EH=x，$$AK=8-x$　　

∵$\frac {EF}{AK}=\frac 3 2$　　

∴$EF=\frac 32(8-x)$　　

∴$S=EH·EF=\frac 3 2x(8-x)=-\frac 3 2{(x-4)}^{2}+24$　　

∴当$x=4$时，$S$的最大值是$24$　　

$(2)\frac {24}5$或$\frac {240}{49}$　　

22. 如图，$BC$是$\odot O$的直径，点$A$在$\odot O$上，且不与点$B$，$C$重合.$\odot O$外的点$E$在射线$CB$上，直线$EA$与$CD$垂直，垂足为$D$，且$DA · AC = DC · AB$.设$\triangle ABE$的面积为$S_1$，$\triangle ACD$的面积为$S_2$.
(1) 判断直线$EA$与$\odot O$的位置关系，并证明你的结论.
(2) 若$BC = BE$，$S_2 = mS_1$，求常数$m$的值.

答案：
22.
(1)直线EA与⊙O相切,理由如下.
如图,连接OA,

∵DA·AC = DC·AB,
∴$\frac{DA}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC = 90° = ∠ADC.
∴△ABC∽△DAC.
∴∠ACB = ∠ACD.
∵OA = OC,
∴∠OAC = ∠ACB = ∠ACD.
∴OA//CD.
∴∠OAE = ∠CDE = 90°.
∴OA⊥DE.
又
∵OA为⊙O的半径,
∴直线EA与⊙O相切.
(2)如图,
∵OA//CD,
∴△AOE∽△DCE.
∴$\frac{AO}{CD}$ = $\frac{OE}{EC}$.
设BO = OC = OA = a,则BC = 2a.
∵BC = BE = 2a,
∴S△ABE = S△ABC,EO = 3a,EC = 4a.
∴$\frac{a}{CD}$ = $\frac{3a}{4a}$.
∴CD = $\frac{4}{3}$a.
∵△ABC∽△DAC,
∴$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{AC}{CD}$.
∴AC² = BC·CD = $\frac{8}{3}$a².
∵△ABC∽△DAC,
∴$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}$ = ($\frac{AC}{BC}$)² = $\frac{2}{3}$.
∴S₂ = $\frac{2}{3}$S₁.
∴m = $\frac{2}{3}$.