《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

13.若一个矩形的短边与长边的比值为$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$(黄金分割数)，我们就把这样的矩形叫做黄金矩形.
(1)操作:请你在下图所示的黄金矩形$ABCD(AB ＞ AD)$中，以短边$AD$为一边作正方形$AEFD$.
(2)探究:在(1)中的四边形$EBCF$是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由.

答案： 13.
(1)略.
(2)
∵ 四边形 AEFD 是正方形，
∴$ \angle FEB = \angle EFC = 90^{\circ}.$
∵$ \angle B = 90^{\circ},$
∴ 四边形 EBCF 是矩形.
设 CD = a,AD = b,
∴$ \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
∴$ \frac{CF}{EF} = \frac{a - b}{b} = \frac{a}{b}-1 = \frac{2}{\sqrt{5}-1}-1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.$
∴ 矩形 EBCF 是黄金矩形.

1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图①，若$AB// CD$，则$\frac{AO}{DO} = \frac{BO}{CO}$；如图②，若$DE// BC$，则$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.

答案： 1.成比例 2.相似；$\frac{AO}{DO} = \frac{BO}{CO}$；$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$