《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

例 家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，在一定范围内，它的电阻$R$(单位：$k\Omega$)随温度$t$(单位：$^{\circ}C$)变化的大致图象如图所示.通电后，发热材料的温度在由室温$10 ^{\circ}C$上升到$30 ^{\circ}C$的过程中，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到$30 ^{\circ}C$时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升$1 ^{\circ}C$，电阻增加$\frac{4}{15} k\Omega$.
(1)写出当$10 \leq t \leq 30$时，$R$和$t$之间的函数解析式.
(2)求温度在$30 ^{\circ}C$时，电阻$R$的值；并求出当$t＞30$时，$R$和$t$之间的函数解析式.
(3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发
热材料的电阻不超过$6 k\Omega$?

答案：
(1) 设 $R = \frac{k}{t}$，将点 $(10, 6)$ 代入，得：
$6 = \frac{k}{10} \implies k = 60$，
当 $10 \leq t \leq 30$ 时，$R = \frac{60}{t}$。
(2) 当 $t = 30$ 时，$R = \frac{60}{30} = 2$，
当 $t ＞ 30$ 时，电阻随温度升高而增加，温度每上升 $1° C$，电阻增加 $\frac{4}{15}k\Omega$，
$R = 2 + \frac{4}{15}(t - 30) = \frac{4}{15}t - 6$。
(3) 把 $R = 6$ 代入 $R = \frac{4}{15}t - 6$，得：
$6 = \frac{4}{15}t - 6 \implies t = 45$，
温度在 $10° C \leq t \leq 45° C$ 时，电阻不超过 $6k\Omega$。