《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

22.如图，某无人机爱好者在一适飞区放飞无人机，当无人机飞行到一定高度$D$处时，无人机测得操控者$A$的俯角为$75^{\circ}$，测得某楼房$BC$顶部$C$处的俯角为$45^{\circ}$.已知操控者$A$和该楼房$BC$之间的距离为$45\ m$，楼房$BC$的高度为$15\sqrt{3}\ m$.
(1)求此时无人机的高度.
(2)若无人机保持现有高度沿平行于$AB$的方向，以$5\ m/s$的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者$A$的视线？（假定点$A,B,C,D$都在同一平面内.计算结果保留根号，参考数据：$\tan75^{\circ}=2+\sqrt{3}$，$\tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}$.)

答案：
22.
(1)如图①，过点 $D$ 作 $DH \perp AB$ 于点 $H$，过点 $C$ 作 $CE \perp DH$ 于点 $E$，

可知四边形 $EHBC$ 为矩形，$\therefore EH = CB$，$CE = HB$. $\because$ 无人机测得某楼房 $BC$ 顶部 $C$ 处的俯角为 $45°$，测得操控者 $A$ 的俯角为 $75°$，$DM // AB$，$\therefore \angle ECD = 45°$，$\angle DAB = 75°$. $\therefore \angle CDE = \angle ECD = 45°$. $\therefore CE = DE$. 设 $CE = DE = HB = x$，$\therefore AH = AB - HB = 45 - x$，$DH = DE + EH = x + 15\sqrt{3}$. 在 $ Rt \triangle DAH$ 中，$DH = \tan 75° × AH = (2 + \sqrt{3}) × (45 - x)$，即 $x + 15\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})(45 - x)$，解得 $x = 30$.$\therefore DH = (15\sqrt{3} + 30) m$. $\therefore$ 此时无人机的高度为 $(15\sqrt{3} + 30) m$.
(2)如图②，当无人机飞行到图中 $F$ 处时，操控者 $A$ 刚好看不见无人机，此时 $AF$ 刚好经过点 $C$. 过点 $A$ 作 $AG \perp DF$ 于点 $G$，此时，由
(1)知，$AG = (15\sqrt{3} + 30) m$，

$\therefore DG = \frac{AG}{\tan 75°} = \frac{30 + 15\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = 15$. $\because \tan \angle CAB = \frac{BC}{AB} = \frac{15\sqrt{3}}{45} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore \angle CAB = 30°$. $\because DF // AB$，$\therefore \angle DFA = \angle CAB = 30°$，$GF = \frac{GA}{\tan 30°} = 30\sqrt{3} + 45$. $\therefore DF = GF - DG = (30\sqrt{3} + 30) m$. $\because$ 无人机的速度为 $5 m/s$，$\therefore$ 所需时间为$\frac{30\sqrt{3} + 30}{5} = (6\sqrt{3} + 6) s$. $\therefore$ 经过$(6\sqrt{3} + 6) s$ 时，无人机刚好离开了操控者 $A$ 的视线.

23.(1)【问题学习】小明在小组学习时问小刚这样一个问题：已知$\angle\alpha$为锐角，且$\sin\alpha=\frac{1}{3}$，求$\sin2\alpha$的值.
小刚的解答：如图①，在$\odot O$中，$AB$是直径，点$C$在$\odot O$上，所以$\angle ACB=90^{\circ}$.设$\angle BAC=\angle\alpha$，则$\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$.易得$\angle BOC=2\angle\alpha$.设$BC=x$，则$AB=3x$，$AC=2\sqrt{2}x$.过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$，求出$CD=$$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$(用含$x$的式子表示)，可求得$\sin2\alpha=\frac{CD}{OC}=$$\frac{4\sqrt{2}}{9}$.
(2)【问题解决】如图②，点$M,N,P$为$\odot O$上的三点，设$\angle P=\angle\beta$，$\sin\beta=\frac{3}{5}$，求$\sin2\beta$的值.

答案： 23.
(1)$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$ $\frac{4\sqrt{2}}{9}$
(2)连接 $NO$ 并延长交$\odot O$ 于点 $Q$，连接 $MQ$，$MO$，过点 $M$ 作 $MR \perp NO$ 于点 $R$. 在$\odot O$ 中，易知 $\angle NMQ = 90°$. $\because \angle Q = \angle P = \angle \beta$，$\therefore \angle MON = 2\angle Q = 2\angle \beta$. 在 $ Rt \triangle QMN$ 中，$\because \sin \beta = \frac{MN}{NQ} = \frac{3}{5}$，设 $MN = 3k$，则 $NQ = 5k$，$\therefore MQ = \sqrt{NQ^2 - MN^2} = 4k$，$OM = \frac{1}{2}NQ = \frac{5}{2}k$. $\because S_{\triangle NMQ} = \frac{1}{2}MN · MQ = \frac{1}{2}NQ · MR$，$\therefore 3k · 4k = 5k · MR$.$\therefore MR = \frac{12}{5}k$. 在 $ Rt \triangle MRO$ 中，$\sin 2\beta = \sin \angle MOR = \frac{MR}{OM} = \frac{\frac{12}{5}k}{\frac{5}{2}k} = \frac{24}{25}$.