《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

10.如图①，一架长$4 m$的梯子$AB$斜靠在与地面$OM$垂直的墙壁$ON$上，梯子与地面的倾斜角$\alpha$为$60^{\circ}$.
(1)求$AO$与$BO$的长.
(2)若梯子顶端$A$沿$NO$下滑，同时底端$B$沿$OM$向右滑行.
①如图②，设$A$点下滑到$C$点，$B$点向右滑行到$D$点，并且$AC:BD = 2:3$，问梯子顶端$A$沿$NO$下滑了多少米？
②如图③，当$A$点下滑到$A'$点，$B$点向右滑行到$B'$点时，梯子$AB$的中点$P$也随之运动到$P'$点.若$\angle POP' = 15^{\circ}$，试求$AA'$的长.
③直接写出②中点$P$运动的路径长.

答案：

解：$(1)$由题意得，$∠AOB=90°，$　　

$AB=4m，$$α=60°$　　

∴$AO=AB·sinα=4×sin_{60}°=2\sqrt {3}m，$　　

$BO=AB·cosα=4×cos_{60}°=2m$　　

$(2)①$设梯子顶端$A$沿$NO$下滑了$2x$米，　　

则$AC=2x$米，$BD=3x$米$．$　　

∴$OC=(2\sqrt {3}-2x)$米，$OD=(2+3x)$米，　　

$CD=AB=4$米　　

在$Rt△COD$中，由勾股定理得，　　

$OC^{2}+{OD}^{2}={CD}^{2}$　　

∴${(2\sqrt {3}-2x)}^{2}+{(2+3x)}^{2}={4}^{2}$　　

解得，$x=\frac {8\sqrt {3}-12}{13}$　　

∴$AC=2x=\frac {16\sqrt {3}-24}{13}$米，即梯子　　

顶端$A$沿$NO$下滑了$\frac {16\sqrt {3}-24}{13}$米　　

$②$
∵$P$是$AB$的中点　　

∴$OP=BP=\frac 1 2AB$　　

∵$∠ABO=α=60°$　　

∴$△OBP$是等边三角形　　

∴$∠POB=60°$　　

∵$∠POP'=15°$　　

∴$∠P'OB'=45°$　　

∵$P'$是$A'B'$的中点　　

∴$OP'=B'P'=\frac 1 2A'B'$　　

∴$∠A'B'O=∠P'OB'=45°$　　

∴$△A'B'O$为等腰直角三角形　　

∵$A'B'=AB=4$米　　

∴$OA'=2\sqrt {2}$米　　

∴$AA'=(2\sqrt {3}-2\sqrt {2})$米　　

$③\frac {1}{6}πm $　　

11.下图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂$AO$长为$40 cm$，与水平面所形成的夹角$\angle OAM$为$75^{\circ}$.由光源$O$射出的边缘光线$OC$，$OB$与水平面所形成的夹角$\angle OCA$，$\angle OBA$分别为$90^{\circ}$和$30^{\circ}$，求该台灯照亮水平面的宽度$BC$.(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.参考数据：$\sin75^{\circ}\approx0.97$，$\cos75^{\circ}\approx0.26$，$\sqrt{3}\approx1.73$.)

答案： 11.67.1cm．