《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

5.如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$\angle AED=\angle B$，射线$AG$分别交线段$DE$，$BC$于点$F$，$G$，且$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$.

(1)求证$\triangle ADF \backsim \triangle ACG$.
(2)若$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AF}{FG}$的值.

答案：
(1)证明：
∵∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF=∠C，
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，
∴△ADF∽△ACG.
(2)
∵△ADF∽△ACG，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$，
设AF=k，则AG=2k，FG=AG-AF=2k-k=k，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{k}{k}=1$.

6.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，你打算怎样安排？

答案： 6.三边长分别为2,2.5,3或1.6,2,2.4或$\frac{4}{3}$,$\frac{5}{3}$,2.

7.如图，矩形$ABCD$的边长$AD=3$，$AB=2$，点$E$为$AB$的中点，$F$在边$BC$上，且$BF=2FC$，$AF$分别与$DE$，$DB$相交于点$M$，$N$，则$MN$的长为(B).

A.$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
B.$\frac{9\sqrt{2}}{20}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{5}$
D.$\frac{9\sqrt{2}}{10}$

答案： 7.B

8.如图，三个正方形拼成一个矩形$ABEF$.求证：
(1)$\triangle ACE \backsim \triangle DCA$；

(2)$\angle 1+\angle 2+\angle 3=90^{\circ}$.

答案：
(1)设正方形边长为$a$，则$CD=a$，$BC=a$，$DE=a$，$EC=2a$，$DB=2a$，$EB=3a$。
在$ Rt\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$。
$CD· CE = a· 2a = 2a^{2}$，$AC^{2}=(\sqrt{2}a)^{2}=2a^{2}$，故$AC^{2}=CD· CE$，即$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{CE}$。
又$\angle ACE = \angle DCA$，所以$\triangle ACE \backsim \triangle DCA$。
(2)由
(1)知$\triangle ACE \backsim \triangle DCA$，则$\angle 2 = \angle CAE$。
在$ Rt\triangle ABC$中，$AB = BC$，故$\angle 1 = 45^{\circ}$。
$\angle 1+\angle 2+\angle 3 = \angle 1+\angle CAE+\angle 3 = \angle 1+\angle DAE$。
$\angle DAE + \angle 1 = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$，所以$\angle 1+\angle 2+\angle 3=90^{\circ}$。