《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

B 级
6. 如图，点$O$在线段$AB$上，$AP = AB = 3$，$AO = 2$，$AQ// BP$，$\angle QOP = \angle B$，求证$AQ · BP = 3$.

答案： 6.提示:过点O作OE//AP交BP于点E,证明△QAO∽△OEP.

7. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，$CD = 10$，$DA = 5\sqrt{5}$，求$BD$的长.

答案： 7.$2\sqrt{41}$

8. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AG\perp BC$于点$G$，分别以$AB$，$AC$为一边向$\bigtriangleup ABC$外作矩形$ABME$和矩形$ACNF$，射线$GA$交$EF$于点$H$.若$AB = kAE$，$AC = kAF$，试探究$HE$与$HF$之间的数量关系，并说明理由.

答案： 8.结论:HE=HF.
　理由如下:
　作EP⊥GA,FQ⊥GA，垂足分别为P,Q.
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.
∵AG⊥BC,
∴∠BAG+∠ABG=90°.
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,
∴△ABG∽△EAP.
∴$\frac{AG}{EP}$=$\frac{AB}{EA}$.
　同理可得△ACG∽△FAQ.
∴$\frac{AG}{FQ}$=$\frac{AC}{FA}$.
∵AB=kAE,AC=kAF,
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AF}$=k.
∴$\frac{AG}{EP}$=$\frac{AG}{FQ}$.
∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ,∠EPH=∠FQH=90°,
∴Rt△EPH≌Rt△FQH.
∴HE=HF.

9. (1)【问题】如图①，在四边形$ABCD$中，点$P$为$AB$上一点，$\angle DPC = \angle A = \angle B = 90^{\circ}$.求证$AD · BC = AP · BP$.
(2)【探究】如图②，在四边形$ABCD$中，点$P$为$AB$上一点，当$\angle DPC = \angle A = \angle B = \theta$时，上述结论是否仍然成立？说明理由.
(3)【应用】请利用(1)(2)获得的经验解决问题，如图③，在$\bigtriangleup ABD$中，$AB = 6$，$AD = BD = 5$.点$P$以每秒1个单位长度的速度，由点$A$出发，沿边$AB$向点$B$运动，且满足$\angle DPC = \angle A$.设点$P$的运动时间为$t$(单位：$s$)，当以点$D$为圆心，以$DC$为半径的圆与$AB$相切时，求$t$的值.

答案： 9.
(1)略.　　
(2)结论仍成立.理由略.
(3)过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD=BD=5,AB=6,
∴AE=BE=3,由勾股定理得DE=4.
∵以点D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4.
∴BC=1.
∵AD=BD,
∴∠A=∠B.
　由
(1)
(2)可知,AD·BC=AP·BP.
　又
∵AP=t,BP=6−t,
∴t(6−t)=5.
　解得t1=1,t2=5.经检验均符合题意，
∴t的值为1或5.