《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

12.已知：如图①，在锐角三角形$ABC$中，$AB=c,BC=a,AC=b,AD\perp BC$于点$D$.
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{c}$,则$AD=c\sin B$；
在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$\sin C=$$\frac{AD}{b}$,则$AD=$$b\sin C$.
所以$c\sin B=b\sin C$,即$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$,进一步得出如下结论：
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
利用上面的结论解答下题：
如图②，在$\triangle ABC$中，$\angle B=75^{\circ},\angle C=45^{\circ},BC=2$,求$AB$的长.

答案： $12. \sin C = \frac{AD}{b}，$$AD = b\sin C。$　　
∵$ ∠B = 75°，$$∠C = 45°，$　　
∴$ ∠A = 60°。$　　
∴$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}，$　　
∴$ AB = \frac{2\sqrt{6}}{3}。$　　

1.在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，当$\angle A$确定时，$\angle A$的邻边与斜边的比是确定的，我们把$\angle A$的叫做$\angle A$的余弦，记作$\cos A$.
2.在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，当$\angle A$确定时，$\angle A$的对边与邻边的比是确定的，我们把$\angle A$的叫做$\angle A$的正切，记作$\tan A$.

答案： 1. 邻边与斜边的比值
2. 答案为：对边与邻边的比值（题目已给出填空位置则直接填描述）
(按题目要求形式化作答则为填空处对应：1.邻边与斜边之比 2.对边与邻边之比 的概念对应位置，具体单选填空表示为)
1.题下填：邻边与斜边的比
2.题下填：对边与邻边的比
(单选项无，则按此格式化简答)

例 1 在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，若$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{2}{3}$，求$\angle A$的正切值.

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，设$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。
由锐角正弦的定义得：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$。
所以$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}$。
已知$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$。
由正切的定义知：$\tan A=\frac{a}{b}$，因此$\tan A=\frac{2}{3}$。
答：$\angle A$的正切值为$\frac{2}{3}$。