《2026年课堂作业武汉出版社九年级数学下册人教版》

24.已知四边形$ABCD$的一组对边$AD$，$BC$的延长线相交于点$E$.

(1)如图①，若$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$，求证$ED· EA=EC· EB$.
(2)如图②，若$\angle ABC=120^{\circ}$，$\cos\angle ADC=\frac{3}{5}$，$CD=5$，$AB=12$，$\triangle CDE$的面积为$6$，求四边形$ABCD$的面积.
(3)如图③，另一组对边$AB$，$DC$的延长线相交于点$F$，若$\cos\angle ABC=\cos\angle ADC=\frac{3}{5}$，$CD=5$，$CF=ED=n$，直接写出$AD$的长（用含$n$的式子表示）.

答案：

解：$(1)$
∵$∠ADC=90°$　　

∴$∠EDC=90°$　　

∴$∠ABE=∠CDE$　　

又
∵$∠AEB=∠CED$　　

∴$△EAB∽△ECD$　　

∴$\frac {EB}{ED}=\frac {EA}{EC}$　　

∴$ED·EA=EC·EB$　　

$(2)$过$C$作$CF⊥AD$于$F，$$AG⊥EB$于$G．$　　

∵$CD=5，$$cos∠ADC=\frac {DF}{CD}=\frac 3 5$　　

∴$DF=3，$$CF=4$　　

∵$S_{△CDE}=\frac 1 2DE·CF=6$　　

∴$DE=3$　　

∴$EF=6$　　

∵$AB=12，$$∠ABG=180°-∠ABC=60°$　　

∴$AG=6\sqrt {3}，$$BG=6$　　

由$(1)$得，$△EFC∽△EGA$　　

∴$\frac {EF}{EG}=\frac {CF}{AG}，$即$\frac 6{EG}=\frac {4}{6\sqrt {3}}$　　

∴$EG=9\sqrt {3}$　　

∴$BE=9\sqrt {3}-6$　　

∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABE}-S_{△CDE}=\frac 1 2×(9\sqrt {3}-6)×6\sqrt {3}-6=75-18\sqrt {3}$　　

$(3)\frac {5n+25}{n+6}$