《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

12. 尝试解决下列有关幂的问题.
(1) 若 $ 3 × 27^{m} ÷ 9^{m} = 3^{16} $,求 $ m $ 的值；
(2) 已知 $ a^{x} = -2 $,$ a^{y} = 3 $,求 $ a^{3x - 2y} $ 的值；
(3) 若 $ n $ 为正整数,且 $ x^{2n} = 4 $,求 $ (3x^{3n})^{2} - 4(x^{2})^{2n} $ 的值.

答案：
(1)15;
(2)$-\frac{8}{9}$;
(3)512.

13. 请认真阅读下列材料,并完成相应任务.
在数学中,我们经常会运用逆向思维解决一些问题,例如：若 $ a^{m} = 9 $,$ a^{m + n} = 54 $,求 $ a^{n} $ 的值.这道题可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式,即 $ a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n} $,所以 $ 54 = 9 × a^{n} $,所以 $ a^{n} = 6 $.
下面是小明用逆向思维完成一道习题的过程：
计算：$ \left( \frac{3}{5} \right)^{11} × \left( - \frac{5}{3} \right)^{11} $.
解：$ \left( \frac{3}{5} \right)^{11} × \left( - \frac{5}{3} \right)^{11} = \left[ \frac{3}{5} × \left( - \frac{5}{3} \right) \right]^{11} = (-1)^{11} = -1 $.
(1) 若 $ \left( \frac{1}{3}x \right)^{2} = 1 $,则 $ x $ 的值为______；
(2) 若 $ a^{m} = 4 $,$ a^{3m - n} = 32 $,请你也利用逆向思维求出 $ a^{n} $ 的值；
(3) 计算：$ 8^{2024} × (-0.125)^{2025} $.

答案：
(1)$\pm 3$
(2)2;
(3)-0.125.