《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

10. 如图,P 为∠AOB 内一点,分别作出点 P 关于 OA,OB 的对称点$ P_1,P_2,$连接$ P_1P_2$交 OA 于点 M,交 OB 于点 N. 若$ P_1P_2 = 6,$则△PMN 的周长为_________。
]

答案： 6

11. 如图,在△ABC 中,AD ⊥ BC 于点 D,EF 垂直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,且 BD = DE,连接 AE.
(1) 求证：AB = EC；
(2) 若△ABC 的周长为 14 cm,AC = 6 cm,求 DC 的长。
]

答案：
(1)证明略；
(2)4 cm.

12. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线$ l_1$交 BC 于点 D,AC 的垂直平分线$ l_2$交 BC 于点$ E,l_1$与$ l_2$相交于点 O,连接 AD,AE,OA,OB,OC. △ADE 的周长为 8 cm,△OBC 的周长为 20 cm.
(1) 求 BC 的长；
(2) 求 OA 的长。
]

答案：
(1)8 cm；
(2)6 cm.

13. 如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 F,交 BC 的延长线于点 E,连接 AE. 求证：
(1) ∠EAD = ∠EDA；
(2) DF // AC；
(3) ∠EAC = ∠B.
]

答案：
(1)
∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠EAD=∠EDA（等边对等角）。
(2)
∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠FAD=∠FDA（等边对等角）。
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠CAD（角平分线定义），
∴∠FDA=∠CAD（等量代换），
∴DF//AC（内错角相等，两直线平行）。
(3)
∵∠EDA是△ABD的外角，
∴∠EDA=∠B+∠BAD（三角形外角等于不相邻两内角和）。由
(1)知∠EAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠B+∠BAD。
∵∠EAD=∠EAC+∠CAD（角的组成），AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义），
∴∠EAC+∠BAD=∠B+∠BAD（等量代换），
∴∠EAC=∠B（等式性质）。