《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

12. 如图①,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线.
(1) 若 $ \angle A = 80^{\circ} $,$ \angle ABC = 58^{\circ} $,则 $ \angle ADB $ 的度数为______.
(2) 设 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle CBD $ 的面积分别为 $ S_1 $ 和 $ S_2 $,已知 $ AB = 6 $,$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{3} $,则 $ BC $ 的长为______.
(3) 如图②,$ \angle ACE $ 是 $ \triangle ABC $ 的一个外角,$ CF $ 平分 $ \angle ACE $,$ BD $ 的延长线与 $ CF $ 相交于点 $ F $,$ CG $ 平分 $ \angle ACB $,交 $ BD $ 于点 $ H $,连接 $ AF $,设 $ \angle BAC = \alpha $,求 $ \angle BHC $ 与 $ \angle HFC $ 的度数. (用含 $ \alpha $ 的式子表示)

答案：
(1)71°
(2)9
(3)∠BHC=90°+$\frac{1}{2}\alpha$. ∠HFC=$\frac{1}{2}\alpha$.

13. 感知：如图①,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ \angle B + \angle C = 180^{\circ} $,$ \angle B = 90^{\circ} $,易知 $ DB = DC $.
探究：如图②,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ \angle B + \angle C = 180^{\circ} $,$ \angle B ＜ 90^{\circ} $. 求证：$ DB = DC $.

答案： 证明：过点D作DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵∠B+∠C=180°，∠DBE+∠ABC=180°（邻补角定义），
∴∠DBE=∠C。
在△DEB和△DFC中，
∠DEB=∠DFC=90°，
∠DBE=∠C，
DE=DF，
∴△DEB≌△DFC（AAS）。
∴DB=DC（全等三角形对应边相等）。