《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

8. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle CAB = 60^{\circ}$,在直线$BC或AC上取一点P$,使得$\triangle ABP$为等腰三角形,则符合条件的点$P$有( )


A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个

答案： C

9. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,在直线$BC上取一点P$,使得$\triangle PAB$是等腰三角形,则符合条件的点$P$有______个。

答案： 4

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$BP平分\angle CBA$,$AP平分\angle CAB$,过点$P的直线DE// AB$,交$BC于点D$,交$AC于点E$。若$CB = 12$,$AC = 18$,则$\triangle CDE$的周长是______。

答案： 30

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD$,$CE是\triangle ABC$的高,且$BD = CE$。求证：$\triangle ABC$是等腰三角形。

答案： 证明：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°。
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
$\begin{cases} BD=CE \\ BC=CB \end{cases}$
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）。
∴∠BCD=∠CBE。
∴AB=AC。
∴△ABC是等腰三角形。

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于点D$,$F为AB$上一点,连接$CF交AD于点H$,过点$B作BE\perp BC交CF的延长线于点E$,且$\angle 1 = \angle 2$。
(1)求证：$AB = AC$；
(2)若$\angle 1 = 22^{\circ}$,$\angle AFC = 110^{\circ}$,求$\angle BCE$的度数。

答案：
(1)证明略.
(2)∠BCE=42°.

13. 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD平分\angle ABC$,交$AC于点D$,$BD = AD$。
(1)如图①,求$\angle BAC$的度数；
(2)如图②,$E是AB$的中点,连接$ED$并延长,交$BC的延长线于点F$,连接$AF$。求证：$AF = AB + BC$。

答案：
(1)∠BAC=36°;
(2)证明略