《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

12. 下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知：如图①,直线$l和直线l外一点A$.
求作：直线$AP$,使得$AP// l$.
作法：如图②.
(1)在直线$l上任取一点B$($AB与l$不垂直),以点$A$为圆心、$AB$的长为半径画弧,与直线$l交于点C$.
(2)连接$AC$,$AB$,延长$BA到点D$.
(3)作$∠DAC的平分线AP$,$AP$就是所求作的直线.
根据小星同学设计的尺规作图过程,使用直尺和圆规补全图形,并完成下面的证明.
证明：$\because AB= AC$,
$\therefore ∠ABC= ∠ACB$.
$\because ∠DAC是\triangle ABC$的外角,
$\therefore ∠DAC= ∠ABC+∠ACB$,
$\therefore ∠DAC= 2∠ABC$.
$\because AP平分∠DAC$,
$\therefore ∠DAC= 2∠DAP$,
$\therefore ∠DAP= ∠ABC$,
$\therefore AP// l$______. (填推理的依据)
]

答案： 补全图形略.同位角相等，两直线平行.