《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

7. 如图,$ P $ 为 $ \angle AOB $ 内一点,分别作点 $ P $ 关于 $ OA $,$ OB $ 的对称点 $ P_1 $,$ P_2 $,连接 $ P_1P_2 $,交 $ OA $ 于点 $ M $,交 $ OB $ 于点 $ N $,若 $ P_1P_2 = 6 $,则 $ \triangle PMN $ 的周长为( )


A.$ 4 $
B.$ 5 $
C.$ 6 $
D.$ 7 $

答案： C

8. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = 6 $,$ BC = 8 $,$ AB = 10 $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,如果 $ M $,$ N $ 分别为 $ BD $,$ BC $ 上的动点,那么 $ CM + MN $ 的最小值是( )


A.$ 6 $
B.$ 8 $
C.$ 10 $
D.$ 4.8 $

答案： D

9. 如图,等边三角形 $ ABC $ 的边长为 $ 4 $,$ AD $ 是 $ BC $ 上的中线,$ F $ 是 $ AD $ 上的动点,$ E $ 是 $ AC $ 上一点,若 $ AE = 2 $,当 $ EF + CF $ 取得最小值时,$ \angle ECF $ 的度数为______.

答案： 30°

10. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ BC = 6 $,$ AC = 3 $,过点 $ C $ 作 $ CP \perp AB $,垂足为 $ P $,那么 $ CP $ 长的最大值为______.

答案： 3

11. 著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从 $ A $ 地走到 $ B $ 地,但途中要到河边喂马喝一次水,则将军怎样走最近？请画出示意图并说明理由.

答案： 1. 作点 A 关于河边所在直线 l 的对称点 A'；
2. 连接 A'B，交直线 l 于点 P；
3. 连接 AP、PB，则将军走 A→P→B 的路径最近。
理由：在直线 l 上任取一点 P'（不与 P 重合），连接 AP'、A'P'、P'B。因为点 A 与 A'关于直线 l 对称，所以 AP=A'P，AP'=A'P'。在△A'P'B 中，A'P' + P'B ＞ A'B，即 AP' + P'B ＞ AP + PB，所以 A→P→B 路径最短。
（示意图需画出：直线 l 为河边，A、B 为直线 l 同侧两点，A'为 A 关于 l 的对称点，连接 A'B 交 l 于 P，连接 AP、PB）