《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

10. 不改变分式的值,将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数.
(1)$\frac{-1 + x^{2}}{-1 - x^{2}}= $______；
(2)$\frac{-x^{2} - x + 1}{-x^{2} + x - 1}= $______.

答案：
(1)$-\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$；
(2)$\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-x+1}$

11. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.
(1)$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}y}{2x + \frac{1}{6}y}$；(2)$\frac{0.2x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}}$；
(3)$\frac{0.8x - 0.78y}{0.5x + 0.4y}$；(4)$\frac{\frac{a}{2} - 0.4b}{0.6a + \frac{3}{4}b}$.

答案：
(1)$\frac{10x-6y}{60x+5y}$;
(2)$\frac{12x-30y}{20x+15}$;
(3)$\frac{40x-39y}{25x+20y}$;
(4)$\frac{10a-8b}{12a+15b}$.

12. 阅读材料：
$\because\frac{a}{b}= -2,\therefore a = -2b$,(第一步)
$\therefore\frac{a^{2} - 2ab - 3b^{2}}{a^{2} - 6ab - 7b^{2}}= \frac{(-2b)^{2} - 2(-2b)b - 3b^{2}}{(-2b)^{2} - 6(-2b)b - 7b^{2}}= \frac{5b^{2}}{9b^{2}}= \frac{5}{9}$.(第二步)
(1)解答问题：
①第一步运用了______的基本性质；
②第二步的解题过程运用了______的方法,$\frac{5b^{2}}{9b^{2}}= \frac{5}{9}$是对分式进行了______.
(2)仿照材料解答：已知$\frac{x}{3}= \frac{y}{4}= \frac{z}{5}\neq0$,求$\frac{x + y - z}{x - y + z}$的值.

答案：
(1)①等式 ②代入 约分；
(2)$\frac{1}{2}$.

13. 阅读材料：
材料 1：为了研究分式$\frac{1}{x}的取值与分母x$的变化关系,小明制作了如下表格：
| $x$ | …$$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | …$$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\frac{1}{x}$ | …$$ | $-0.25$ | $-0.\dot{3}$ | $-0.5$ | $-1$ | 无意义 | $1$ | $0.5$ | $0.\dot{3}$ | $0.25$ | …$$ |
观察表格数据,当$x ＞ 0$时,$\frac{1}{x}的值随着x$的增大而减小,并无限接近$0$；当$x ＜ 0$时,$\frac{1}{x}的值随着x$的增大而减小.
材料 2：对于一个分子、分母都是多项式的分式,当分母的次数高于分子的次数时,我们称这个分式叫作真分式. 当分母的次数不高于分子的次数时,我们把这个分式叫作假分式. 有时,需要把一个假分式化成整式和真分式的和,这种恒等变形称为将分式化为部分分式. 例如：$\frac{2x + 1}{x - 4}= \frac{2x - 8 + 8 + 1}{x - 4}= \frac{2x - 8}{x - 4}+\frac{8 + 1}{x - 4}= 2 + \frac{9}{x - 4}$.
根据上述材料,解答下列问题.
(1)当$x ＞ 0$时,$1 + \frac{1}{x}的值随着x$的增大而______；(填“增大”或“减小”)
当$x ＜ 0$时,$\frac{x + 2}{x}的值随着x$的增大而______；(填“增大”或“减小”)
(2)当$x ＞ 1$时,随着$x$的增大,$\frac{2x + 2}{x - 1}$的值无限接近一个数,请求出这个数；
(3)当$0\leqslant x\leqslant2$时,求代数式$\frac{5x - 2}{x - 3}$的取值范围.

答案：
(1)减小 减小；
(2)$\frac{2x+2}{x-1}$的值无限接近2;
(3)$-8\leqslant \frac{5x-2}{x-3}\leqslant \frac{2}{3}$.