《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

11. 有两种正方形A,B,其边长分别为$a$,$b$.现将B放在A的内部得图①,将A,B并列放置后构造新的正方形得图②.图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12,据此解答下列问题.
(1)正方形A,B的面积之和为______；
(2)小明想要拼一个两边边长分别为$(2a + b)和(a + 3b)$的长方形(不重不漏),除用去若干个正方形A,B外,还需要以$a$,$b$为两边边长的长方形______个.

答案：
(1)13
(2)7

12. 探究应用：
(1)已知$(a - 1)(a^{2} + a + 1) = a^{3} + a^{2} + a - a^{2} - a - 1 = a^{3} - 1$,则$(2x - y)(4x^{2} + 2xy + y^{2}) = $______ = ______.
(2)(1)中的整式乘法计算结果很简洁,这时你会发现一个新的乘法公式：
$(a - b)$(______)$ = $______.(请用含$a$,$b$的字母表示)
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______.(填字母)
A. $(a - 3)(a^{2} - 3a + 9)$
B. $(2m - n)(2m^{2} + 2mn + n^{2})$
C. $(4 - x)(16 + 4x + x^{2})$
D. $(m - n)(m^{2} + 2mn + n^{2})$
(4)直接用上述公式计算：$(3x - 2y)(9x^{2} + 6xy + 4y^{2}) = $______.

答案：
(1)$8x^{3}+4x^{2}y+2xy^{2}-4x^{2}y-2xy^{2}-y^{3}$ $8x^{3}-y^{3}$
(2)$a^{2}+ab+b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$
(3)C
(4)$27x^{3}-8y^{3}$

13. 已知$(x^{2} - mx - n)(x^{2} - 2x - 1)展开的结果不含x^{3}和x^{2}$的项($m$,$n$是常数).
(1)求$m$,$n$的值；
(2)在(1)的条件下,求$(m - n)(m^{2} + mn + n^{2})$的值.

答案：
(1)$m=-2,n=-5$.
(2)117.