《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

8. 分式$\frac{1}{x - 2},\frac{1}{(x - 2)(x + 3)},\frac{2}{(x + 3)^{2}}$通分的过程中,不正确的是( )

A.最简公分母是$(x - 2)(x + 3)^{2}$
B.$\frac{1}{x - 2}= \frac{(x + 3)^{2}}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
C.$\frac{1}{(x - 2)(x + 3)}= \frac{x + 3}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$
D.$\frac{2}{(x + 3)^{2}}= \frac{2x - 2}{(x - 2)(x + 3)^{2}}$

答案： D

9. 分式$\frac{1}{x^{2}-y^{2}}与\frac{1}{x^{2}-xy}$的最简公分母是____.

答案： $x(x^{2}-y^{2})$

10. 已知$\frac{ab}{a + b}= 2,\frac{bc}{b + c}= 3,\frac{ac}{a + c}= 1$,则$\frac{abc}{ab + bc + ac}= $____.

答案： $\dfrac{12}{11}$

11. 解答下列问题.
(1)约分：$\frac{x^{2}+6x + 9}{x^{2}-9}$；
(2)约分：$\frac{2a^{2}-a}{4a^{2}-1}$；
(3)通分：$\frac{1}{4x^{3}y},\frac{5}{6xy^{2}}$；
(4)通分：$\frac{a - 1}{a^{2}+2a + 1},\frac{6}{a^{2}-1}$；
(5)通分：$\frac{y}{2(x - y)},\frac{1}{x^{3}y - xy^{3}}$；
(6)通分：$\frac{a}{a^{2}+4a + 4},\frac{2a}{a^{2}-4}$.

答案：
(1)$\dfrac{x+3}{x-3}$.
(2)$\dfrac{a}{2a+1}$.
(3)$\dfrac{3y}{12x^{3}y^{2}}$,$\dfrac{10x^{2}}{12x^{3}y^{2}}$.
(4)$\dfrac{(a-1)^{2}}{(a+1)^{2}(a-1)}$,$\dfrac{6(a+1)}{(a+1)^{2}(a-1)}$.
(5)$\dfrac{xy^{2}(x+y)}{2xy(x^{2}-y^{2})}$,$\dfrac{2}{2xy(x^{2}-y^{2})}$.
(6)$\dfrac{a(a-2)}{(a+2)^{2}(a-2)}$,$\dfrac{2a(a+2)}{(a+2)^{2}(a-2)}$.

12. 已知分式$\frac{m^{2}+5m + 6}{m^{2}-4}$.
(1)当$m$满足什么条件时,该分式有意义？
(2)约分：$\frac{m^{2}+5m + 6}{m^{2}-4}$.
(3)当$m$满足什么条件时,该分式的值为负？

答案：
(1)$m\neq \pm 2$;
(2)$\dfrac{m+3}{m-2}$;
(3)$-3＜ m＜ 2$,且$m\neq -2$.

13. 在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一. 所谓倒数法,即把式子变成其倒数的形式,从而运用约分化简,以达到计算求值的目的.
例如：已知$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{5}$,求代数式$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值.
解：$\because\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{5},\therefore\frac{x^{2}+1}{x}= 5$,即$\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}= 5,\therefore x+\frac{1}{x}= 5$.
(1)请继续完成上面问题的求解过程；
(2)请仿照上述方法解答：已知$\frac{x}{x^{2}-x - 1}= 4$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.

答案：
(1)$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-2=25-2=23$;
(2)$\dfrac{16}{73}$.