《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

9. 在等腰三角形 $ ABC $ 中,$ AB = AC $,$ BD \perp AC $ 于点 $ D $,且 $ BD = \dfrac{1}{2}AC $,则等腰三角形 $ ABC $ 的顶角的度数为______。

答案： 30°或150°

10. 如图,$ \angle AOB = 30^{\circ} $,$ P $ 是角平分线上一点,$ PM \perp OB $ 于点 $ M $,$ PN // OB $ 交 $ OA $ 于点 $ N $,若 $ PM = 1 $,则 $ PN $ 的长为______。

答案： 2

11. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ BD $ 是中线,延长 $ BC $ 至点 $ E $,使 $ CE = CD $,$ DF \perp BE $,垂足为 $ F $。
(1) 求证：$ CE = 2CF $；
(2) 若 $ CF = 2 $,求 $ \triangle ABC $ 的周长。

答案：
(1)证明略;
(2)24.

12. 如图,下午 $ 2 $ 时,一艘轮船从 $ A $ 处向正北方向航行,下午 $ 5 $ 时达到 $ B $ 处,继续航行到达 $ D $ 处时发现灯塔 $ C $ 恰好在正西方向,从 $ A $ 处、$ B $ 处望灯塔 $ C $ 的角度分别是 $ \angle A = 30^{\circ} $,$ \angle DBC = 60^{\circ} $。已知轮船的航行速度为 $ 24 \, n mile/h $,求 $ AD $ 的长。

答案： 12.108 n mile.

13. 如图,$ E $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线上一点,$ EC \perp OB $,$ ED \perp OA $,垂足分别是 $ C $,$ D $,连接 $ CD $,交 $ OE $ 于点 $ F $。
(1) 求证：$ OE $ 是 $ CD $ 的垂直平分线；
(2) 若 $ \angle AOB = 60^{\circ} $,请你探究 $ OE $,$ EF $ 之间有什么数量关系,并证明你的结论。

答案：
(1)证明略;
(2)OE=4EF.证明略.