《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

8. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,$ S_{△ABC}= 24 $,DE = 4,AB = 7,则 AC 的长是( )


A.3
B.4
C.6
D.5

答案： D

9. 如图,△ABC 的周长是 20 cm,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于点 D,若 OD = 3 cm,则△ABC 的面积是______.

答案： 30 cm²

10. 如图,BD⊥AE 于点 B,DC⊥AF 于点 C,且 DB = DC,∠BAC = 40°,∠ADG = 130°,则∠DGF 的度数为______.

答案： 150°

11. 如图,BD 是∠ABC 的平分线,AB = BC,点 P 在 BD 上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是 M,N,求证：PM = PN.

答案： 证明：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
结论：PM=PN。

12. 如图,已知△ABC.
(1)下列操作中,作∠ABC 的平分线的正确顺序是______. (填序号)
①分别以点 M,N 为圆心、大于 $ \frac{1}{2}MN $ 的长为半径作圆弧,在∠ABC 内两弧交于点 P；
②以点 B 为圆心、适当长为半径作圆弧,交 AB 于点 M,交 BC 于点 N；
③画射线 BP,交 AC 于点 D.
(2)下列能说明∠ABD = ∠CBD 的依据是______. (填序号)
①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3)若 AB = 18,BC = 12,$ S_{△ABC}= 120 $,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,求 DE 的长.

答案：
(1)②①③
(2)①
(3)8

13. 如图,在四边形 ABDC 中,∠D = ∠B = 90°,O 为 BD 的中点,且 AO 平分∠BAC. 求证：
(1)CO 平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB + CD = AC.

答案：
(1) 过点O作OE⊥AC于点E.
∵AO平分∠BAC，∠B=90°，OE⊥AC，
∴OB=OE（角平分线上的点到角两边距离相等）.
∵O为BD中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD.
∵∠D=90°，
∴OD⊥CD，又OE⊥AC，
∴CO平分∠ACD（到角两边距离相等的点在角平分线上）.
(2) 设∠BAO=∠CAO=α，∠DCO=∠ACO=β.
∵∠B=∠D=90°，四边形ABDC内角和为360°，
∴∠BAC+∠ACD=360°-∠B-∠D=180°，即2α+2β=180°，
∴α+β=90°.
在Rt△ABO中，∠AOB=90°-α；在Rt△CDO中，∠COD=90°-β.
∵∠AOB+∠AOC+∠COD=180°（平角定义），
∴∠AOC=180°-(90°-α)-(90°-β)=α+β=90°，
∴OA⊥OC.
(3) 在Rt△ABO和Rt△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l} AO=AO\\ OB=OE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴AB=AE.
在Rt△CDO和Rt△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l} CO=CO\\ OD=OE\end{array}\right.$，
∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴CD=CE.
∵AC=AE+CE，
∴AC=AB+CD.