《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

8. 如图,在$\triangle OAB和\triangle OCD$中,$OA = OB$,$OC = OD$,$OA＞OC$,$\angle AOB= \angle COD = 40^{\circ}$,连接$AC$,$BD交于点M$,连接$OM$。有下列结论：①$AC = BD$；②$\angle AMB = 40^{\circ}$；③$OM平分\angle BOC$；④$MO平分\angle BMC$。其中正确的个数为( )


A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： B

9. 如图,在四边形$ABCD$中,$CB = CD$,$\angle B= \angle D = 90^{\circ}$,$\angle BAC = 35^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为______。

答案： 110°

10. 如图,点$B$,$F$,$C$,$E$在同一条直线上(点$F$,$C$之间不能直接测量),点$A$,$D在BE$的异侧,测得$AB = DE$,$AB// DE$,$AC// DF$。若$BE = 14m$,$BF = 5m$,则$FC$的长为______$m$。

答案： 4

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB＞BC$,点$D在边BC$上,$CD = 2BD$,点$E$,$F在线段AD$上,$\angle 1= \angle 2= \angle BAC$。
(1)求证：$AF = BE$；
(2)若$\triangle BDE的面积为1.4$,$\triangle ABC的面积为18$,求$\triangle CFD$的面积。

答案：
(1)证明略；
(2)7.4.

12. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,在$BD上取两点E$,$F$,使$BF = DE$,连接$AE$,$CF$。
(1)若$AE// CF$,求证：$\triangle ABE\cong\triangle CDF$；
(2)在(1)的条件下,连接$AF$,$CE$,试判断$AF与CE$有怎样的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)证明略；
(2)AF=CE,理由略.

13. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$AE平分\angle BAC交BC于点D$,$BE\perp AE$,求证：$BE= \frac{1}{2}AD$。

答案： 证明：
延长$BE$、$AC$交于点$F$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE = \angle CAE$。
因为$BE\perp AE$，所以$\angle AEB = \angle AEF = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle AEF$中：
$\begin{cases}\angle BAE = \angle EAF,\\AE = AE,\\\angle AEB = \angle AEF.\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）可得$\triangle ABE\cong\triangle AEF$，所以$BE = EF=\frac{1}{2}BF$。
因为$\angle F + \angle FAC = 90^{\circ}$，$\angle ADC+ \angle CAD = 90^{\circ}$，且$\angle FAC = \angle CAD$，所以$\angle F=\angle ADC$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCF$中：
$\begin{cases}\angle ACD = \angle BCF = 90^{\circ},\\\angle F = \angle ADC,\\AC = BC.\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）可得$\triangle ACD\cong\triangle BCF$，所以$AD = BF$。
因为$BE=\frac{1}{2}BF$，$AD = BF$，所以$BE=\frac{1}{2}AD$。