《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

19. 图①是一个平分角的仪器,其中 $ OD = OE $,$ FD = FE $。
(1) 如图②,将仪器放置在 $ \triangle ABC $ 上,使点 $ O $ 与顶点 $ A $ 重合,点 $ D $,$ E $ 分别在边 $ AB $,$ AC $ 上,沿 $ AF $ 画一条射线 $ AP $,交 $ BC $ 于点 $ P $。$ AP $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线吗？请判断并说明理由。
(2) 如图③,在(1)的条件下,过点 $ P $ 作 $ PQ \perp AB $ 于点 $ Q $,若 $ PQ = 6 $,$ AC = 9 $,$ \triangle ABC $ 的面积是 60,求 $ AB $ 的长。

答案：
(1)AP是∠BAC的平分线,理由略；
(2)11.

20. 如图,在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ CE \perp AB $ 于点 $ E $,$ AD = AC $,$ AF $ 平分 $ \angle CAB $ 交 $ CE $ 于点 $ F $,$ DF $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ G $,求证：
(1) $ DF // BC $；
(2) $ FG = FE $。

答案： （1）证明：
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF。
在△ACF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AD\\ ∠CAF=∠DAF\\ AF=AF\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ADF（SAS）。
∴∠ACF=∠ADF。
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠AEC=90°。
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠B+∠CAE=90°。
∴∠ACE=∠B（同角的余角相等）。
∴∠ADF=∠B。
∴DF//BC（同位角相等，两直线平行）。
（2）证明：
∵DF//BC（已证），∠ACB=90°，
∴∠AGD=∠ACB=90°（两直线平行，同位角相等），即FG⊥AC。
∵CE⊥AB，
∴FE⊥AB。
∵AF平分∠CAB，FG⊥AC，FE⊥AB，
∴FG=FE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。