《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

7. 已知关于$x,y的方程组\begin{cases}mx + 2ny = 4,\\x + y = 1\end{cases} 与\begin{cases}x - y = 3,\\nx + (m - 1)y = 3\end{cases} $有相同的解。
(1)求这个相同的解。
(2)求$m,n$的值。
(3)小明同学说:“无论$a$取何值,(1)中的解都是关于$x,y的方程(3 + a)x + (2a + 1)y = 5$的解。”他的说法正确吗? 请你说明理由。

答案： 解：（1）由题意，得{x+y=1，x-y=3，解得{x=2，y=-1。（2）将{x=2，y=-1代入含有m，n的方程组，得{2m-2n=4，2n-(m-1)=3，解得{m=6，n=4。（3）他的说法正确。理由如下：将{x=2，y=-1代入(3+a)x+(2a+1)y=5，得(3+a)×2+(2a+1)×(-1)=6+2a-2a-1=5。所以，无论a取何值，（1）中的解都是方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解。

8. 已知$27^n = 9× 3^{2m - 3},4^m = 16^n$,则$m + n$的值是3。

答案： 3

9. 【数学文化】剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一,也是山西省非物质文化遗产,很多剪纸作品蕴含着对称美。如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,若点$E的坐标为(2m,-n)$,它关于$y轴对称的点F的坐标为(3 - n,-m + 1)$,则$(m - n)^2$的值为(C)。

A.9
B.- 1
C.1
D.0
]

答案： C

10. 对于实数$a,b$,定义关于“$*$”运算:$a * b = 2a + b$。例如:$3 * 6 = 2× 3 + 6 = 12$。
(1)求$5 * (- 2)$的值;
(2)若$x * (- y) = 8,(2y) * x = - 2$,求$x + y$的值。

答案： 解：（1）5*(-2)=2×5+(-2)=10-2=8。（2）根据题意，得{2x-y=8，①4y+x=-2。②由①+②，得3x+3y=6。所以x+y=2。