《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

5. 已知一次函数 $ y = kx + b $($ k $,$ b $ 为常数,$ k \neq 0 $)的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限,则下列结论一定正确的是(A)。
A.$ kb ＞ 0 $
B.$ kb ＜ 0 $
C.$ k - b ＞ 0 $
D.$ k + b ＜ 0 $

答案： A

6. 对于一次函数 $ y = kx + b $($ k $,$ b $ 为常数,$ k \neq 0 $),下表中给出 $ 5 $ 组自变量及其对应的函数值,其中只有 $ 1 $ 个函数值有误,则这个函数值是(C)。

A.$ 1 $
B.$ 4 $
C.$ 8 $
D.$ 10 $

答案： C

7. 若 $ k $,$ b $ 满足 $ k + b = 0 $,且 $ k ＜ b $,则一次函数 $ y = kx + b $ 的图象可能是(C)。

答案： C

8. 【数学应用】一个有进、出水管的容器,单位时间进、出的水量都是一定的。设从某时刻开始 $ 5 $ min 内只进水不出水,在随后的 $ 15 $ min 内既进水又出水,水量 $ y $(单位：L)与 $ x $(单位：min)之间的函数图象如图。若 $ 20 $ min 后只出水不进水,求这时 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式。

答案： 解:因为开始5 min内只进水不出水,所以每分钟的进水量为20÷5=4(L)。因为在随后15 min内既进水又出水,增加水量15 L,所以每分钟增加的水量为1 L,所以每分钟的出水量为3 L。故设所求的函数关系式为y=-3x+b,将点(20,35)的坐标代入,得35=-3×20+b,解得b=95。所以所求函数关系式为y=-3x+95。

9. 如图①,一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 6 $ 的图象分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点,正比例函数 $ y = \frac{1}{2}x $ 的图象与直线 $ AB $ 交于点 $ C(m,3) $。
(1) 求 $ m $ 的值并直接写出线段 $ OC $ 的长；
(2) 如图②,横坐标为 $ 4 $ 的点 $ D $ 在线段 $ OC $ 上,过点 $ D $ 作 $ DE \perp x $ 轴于点 $ E $,交线段 $ CB $ 于点 $ F $。解答下列问题：
① 求线段 $ DF $ 的长；
② 设 $ P $ 是 $ x $ 轴上的一点,若 $ \triangle PDF $ 的面积为 $ \triangle CDF $ 面积的 $ 2 $ 倍,请直接写出点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)因为点C(m,3)在函数y=$\frac{1}{2}x$的图象上,所以$\frac{1}{2}m=3$,解得m=6。所以线段OC的长为$\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
(2)①把x=4代入y=$\frac{1}{2}x$,得y=2。所以点D的坐标为(4,2)。因为DE⊥x轴,所以DE=2。把x=4代入y=-$\frac{1}{2}x$+6,得y=4。所以点F的坐标为(4,4),所以FE=4。所以DF=FE-DE=4-2=2。②点P的坐标为(0,0)或(8,0)。