《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

10. 一只螳螂在一圆柱形松树树干的点$A$处,发现它的正上方点$B$处有一只小虫子,它想捕到这只小虫子,但又怕被发现,它按图示的路线,绕到小虫子后面吃掉小虫子。已知树干横截面的周长为$20\mathrm{cm}$,$A,B两点间的距离为15\mathrm{cm}$,求这只螳螂绕行的最短路程。

答案：
解:把这段树干看成用纸卷成的圆柱，沿AB 剪开将它展开如下图，AB的长就是所求的最短路程。
图中BC=15cm,AC=20cm。
在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB²=AC²+BC²,解得AB=25cm。
故这只螳螂绕行的最短路程是25cm。
　　　　　　　　　　　　

11. 【数学文化】油画中的数学
俄国某著名画家曾经画过一幅名叫《难题》的油画,画面上的主人公是一位戴眼镜的小学教师,站在一块黑板边,黑板上面写着一道计算题：$\frac{10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}= ?$
人们研究这个问题时,有人突然联想到了勾股数,并依次写出以下$3$个等式。
请用数学的眼光观察下面的$3$个等式,并解答问题。
$3^{2}+4^{2}= 5^{2}$；
$10^{2}+11^{2}+12^{2}= 13^{2}+14^{2}$；
$21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}= 25^{2}+26^{2}+27^{2}$。
(1)试着写出第$4$个等式,并用计算器验证；
(2)我们发现只要确定了等式左边的第一个数,或者等式左边的最后一个数就能写出等式,而这两个数与等式的序号有关联。如果第$5个等式左边最后一个数是n$,请写出第$5$个等式,并求出$n$的值。

答案： 解:
(1)36²+37²+38²+39²+40²=41²+42²+43²+44²。
(2)(n - 5)²+(n - 4)²+(n - 3)²+(n - 2)²+(n - 1)²+n²=(n + 1)²+(n + 2)²+(n + 3)²+(n + 4)²+(n + 5)²,
即(n² - 10n + 25)+(n² - 8n + 16)+(n² - 6n + 9)+(n² - 4n + 4)+(n² - 2n + 1)+n²=(n² + 2n + 1)+(n² + 4n + 4)+(n² + 6n + 9)+(n² + 8n + 16)+(n² + 10n + 25),
整理得n² - 60n=0,即n(n - 60)=0,
所以n₁=60,n₂=0(舍去)。
所以第5个等式为:55²+56²+57²+58²+59²+60²=61²+62²+63²+64²+65²。