《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

4. 已知$x= \frac{\sqrt{5}-1}{2},y= \frac{\sqrt{5}+1}{2}$,则$x^{2}+xy+y^{2}$的值为(B)。
A.2
B.4
C.5
D.7

答案： B

5. 计算$\sqrt{9^{2}-6^{2}}$的结果是(C)。
A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$

答案： C

6. 已知直角三角形的周长是$2+\sqrt{6}$,斜边长为 2,求它的面积。

答案： 解:设这个直角三角形两条直角边的长分别为a,b,根据题意得$a+b=\sqrt{6}$。由勾股定理得$a^2+b^2=4$。所以$ab=\frac{1}{2}\left[(a+b)^2-(a^2+b^2)\right]=\frac{1}{2}×(6-4)=1$。所以它的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}$。

7. 定义：若两个无理数的乘积等于一个有理数,即$a\cdot b = c$,则称$a和b是关于c$的“共轭数”。例如：$\sqrt{2}×\sqrt{8}= 4$,则称$\sqrt{2}和\sqrt{8}$是关于 4 的“共轭数”。
(1)已知$\sqrt{3}和b$是关于 6 的“共轭数”,则$b=$$2\sqrt{3}$；
(2)若$(2-\sqrt{3})和(6+\sqrt{3}m)$是关于 3 的“共轭数”,求$m$的值。
3

答案：
(1)$2\sqrt{3}$
(2)3

8. 【跨学科】假如某人站在水平高度为$h m的地方看到的水平距离为d m$,它们近似地符合公式$d = 8\sqrt{\frac{h}{5}}$。某一登山者从海拔$h m处登上海拔2h m$高的山顶,那么他看到的水平距离是原来的多少倍？

答案： 解:登山者看到的原水平距离为$d_1=8\sqrt{\frac{h}{5}}$,现水平距离为$d_2=8\sqrt{\frac{2h}{5}}$,所以$\frac{d_2}{d_1}=\frac{8\sqrt{\frac{2h}{5}}}{8\sqrt{\frac{h}{5}}}=\sqrt{2}$。所以他看到的水平距离是原来的$\sqrt{2}$倍。

9. 先阅读下面的解答过程,然后再解答问题：
形如$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的式子化简,只要我们找到两个数$a,b$,使$a + b = m,ab = n$,即有$(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}= m,\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}= \sqrt{n}$,那么便有：
$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}= \sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^{2}}= \sqrt{a}\pm\sqrt{b}(a ＞ b ＞ 0)$。
例如：化简$\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$。
解：这里$m = 7,n = 12$,
因为$4 + 3 = 7,4×3 = 12$,即有$(\sqrt{4})^{2}+(\sqrt{3})^{2}= 7,\sqrt{4}×\sqrt{3}= \sqrt{12}$,
所以$\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}= \sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^{2}}= 2+\sqrt{3}$。
用上述方法化简$\sqrt{12 - 2\sqrt{35}}$。

答案： 解:由题知,$m=12$,$n=35$,因为$7+5=12$,$7×5=35$,即有$(\sqrt{7})^2+(\sqrt{5})^2=12$,$\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$,所以$\sqrt{12-2\sqrt{35}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{5}$。