《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

4. 已知正比例函数 $ y = kx $,$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小,则图象上的点 $ M(k,1) $ 在(B)。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： B

5. 已知正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ (2,-4) $。
(1) 求正比例函数关系式；
(2) 判断点 $ A(-2,1) $ 是否在该函数图象上；
(3) 若图象上有两点 $ B(x_1,y_1) $,$ C(x_2,y_2) $,且 $ x_1 ＞ x_2 $,试比较 $ y_1 $,$ y_2 $ 的大小。

答案： 解:
(1)将点$(2,-4)$的坐标代入$y=kx$,得$-4=2k$,解得$k=-2$。所以正比例函数关系式为$y=-2x$。
(2)当$x=-2$时,$y=-2×(-2)=4\neq1$,所以点$A(-2,1)$不在该函数图象上。
(3)因为$k=-2＜0$,所以y随x的增大而减小。所以当$x_1＞x_2$时,$y_1＜y_2$。

6. 若正比例函数的图象过点 $ (2,-3) $,则下列结论不正确的是(A)。
A.函数值随自变量的增大而增大
B.函数值随自变量的增大而减小
C.函数图象关于原点对称
D.函数图象过第二、四象限

答案： A

7. 已知正比例函数 $ y = 2x $ 的图象过点 $ (x_1,y_1) $,$ (x_2,y_2) $,若 $ x_2 - x_1 = 5 $,则 $ y_2 - y_1 = $10。

答案： 10

8. 【跨学科】如图所示的是光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图,若按下图建立平面直角坐标系,并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为 $ y_1 = k_1x $,$ y_2 = k_2x $,则 $ k_1 $,$ k_2 $,$ 0 $ 的大小关系是(D)。

A.$ k_2 ＜ 0 ＜ k_1 $
B.$ k_1 ＜ 0 ＜ k_2 $
C.$ k_1 ＜ k_2 ＜ 0 $
D.$ k_2 ＜ k_1 ＜ 0 $

答案： D

9. 如图①,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ D $ 是 $ BC $ 的中点,动点 $ P $ 从点 $ C $ 出发沿 $ CA - AB $ 运动到点 $ B $,设点 $ P $ 的运动路程为 $ x $,$ \triangle PCD $ 的面积为 $ y $,$ y $ 与 $ x $ 的函数图象如图②所示,则边 $ AB $ 的长为(D)。

A.$ 10 $
B.$ 12 $
C.$ 2\sqrt{17} $
D.$ 4\sqrt{5} $

答案： D 解析:由题中图象可知,当$x=3$时,$y=3$,由$y=\frac{1}{2}\cdot x\cdot CD=3$,得$\frac{1}{2}×3× CD=3$,所以$CD=2$。因为D是BC的中点,所以$BC=2CD=4$。当$x=8$时,$\triangle PCD$的面积最大,此时点P与点A重合,所以$AC=8$。在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90°$,$BC=4$,$AC=8$,由勾股定理,得$AB=4\sqrt{5}$。