《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

7. 如图所示的是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形。若正方形 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的边长分别是 $ 3 $,$ 5 $,$ 2 $,$ 3 $,则最大正方形 $ E $ 的面积是(C)。

A.$ 13 $
B.$ 26 $
C.$ 47 $
D.$ 94 $

答案： 7.C

8. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AB = 5 cm $,$ AC = 3 cm $,动点 $ P $ 从点 $ B $ 出发沿射线 $ BC $ 以 $ 1 cm/s $ 的速度匀速运动,运动的时间为 $ t s $。
(1)求边 $ BC $ 的长；
(2)当 $ \triangle ABP $ 为直角三角形时,求 $ t $ 的值；
(3)当 $ \triangle ABP $ 为轴对称图形时,求 $ t $ 的值。
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答案： 8.解:
(1)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3 cm,由勾股定理,得 AB²=BC²+AC²=BC²+3²=5²,解得 BC=4 cm。
(2)由题意得 BP=t cm。①当∠APB 为直角时,点 P 与点 C 重合,BP=BC=4 cm,即 t=4。②当∠BAP 为直角时,BP=t cm,CP=(t-4)cm,AC=3 cm,在 Rt△ACP 中,由勾股定理,得 AP²=3²+(t-4)²,在 Rt△BAP 中,由 AB²+AP²=BP²,得 5²+[3²+(t-4)²]=t²,解得$t=\frac {25}{4}$。综上可知,当△ABP 为直角三角形时,t=4 或$t=\frac {25}{4}$。
(3)①当 AB=BP 时,t=5;②当 AB=AP 时,BP=2BC=8 cm,t=8;③当 BP=AP 时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm,AC=3 cm,在 Rt△ACP 中,由勾股定理,得 AP²=AC²+CP²,即 t²=3²+(4-t)²,解得$t=\frac {25}{8}$。综上可知,当△ABP 为轴对称图形时,t=5 或t=8 或$t=\frac {25}{8}$。

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,$ AB = BC $,三角形的顶点在相互平行的三条直线 $ l_{1} $,$ l_{2} $,$ l_{3} $ 上,且 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 之间的距离为 $ 2 $,$ l_{2} $,$ l_{3} $ 之间的距离为 $ 3 $,求 $ AC^{2} $ 的值。
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答案： 9.解:分别过点 A,C 作直线 l₃的垂线,垂足分别为 M,N(图略),则 AM=3,CN=5。可证△ABM≌△BCN,从而 BM=CN=5。在 Rt△ABM 中,∠AMB=90°,由勾股定理得 AB²=AM²+BM²=34。又因为 AB=BC,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,所以由勾股定理得 AC²=AB²+BC²=68。