《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

10. 【数学应用】服务质量相同的甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案。
甲公司：每月的养护费用 $ y $(单位：元)与绿化面积 $ x $(单位：$\mathrm{m^2}$)是一次函数关系,图象如图。

乙公司：绿化面积不超过 $ 1000 \mathrm{m^2} $ 时,每月收取费用 $ 3000 $ 元；绿化面积超过 $ 1000 \mathrm{m^2} $ 时,每月在收取 $ 3000 $ 元的基础上,超过的部分每平方米收取 $ 2.5 $ 元。
(1)求图中 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式(不要求写出 $ x $ 的取值范围)；
(2)如果学校计划投入 $ 4000 $ 元资金进行校园绿化养护,通过计算说明选择哪家公司的服务更合算。

答案： 解:
(1)因为直线经过点$(0,100)$,所以可设y与x的函数关系式为$y=kx+100$。
将点$(100,400)$的坐标代入,得$400=100k+100$,解得$k=3$。所以$y=3x+100$。
(2)当$y=4000$时,即$3x+100=4000$,解得$x=1300$。
$4000-3000=1000$,$1000÷2.5=400$,$1000+400=1400(m^{2})$,
因为$1400＞1300$,所以选择乙公司的服务更合算。

11. 【数学应用】甲、乙两车从 $ A $ 地驶向 $ B $ 地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车先出发 $ 2 \mathrm{h} $,且甲车途中休息了 $ 0.5 \mathrm{h} $,如图所示的是甲、乙两车行驶的路程 $ y $(单位：$\mathrm{km}$)与时间 $ x $(单位：$\mathrm{h}$)的函数图象。
(1)求图中 $ m $,$ a $ 的值；
(2)求甲车的行驶路程 $ y $(单位：$\mathrm{km}$)与时间 $ x $(单位：$\mathrm{h}$)的函数关系式,并写出 $ x $ 的取值范围；
(3)求乙车行驶多长时间时,两车相距 $ 50 \mathrm{km} $。

答案： 解:
(1)根据题图,得$m=1.5-0.5=1$,$\frac{a}{m}=\frac{120-a}{3.5-1.5}$,所以$m=1$,$a=40$。
(2)当$0≤x≤1$时,设y与x之间的函数关系式为$y=kx$,则$40=k×1$,所以$y=40x$。当$1＜x≤1.5$时,$y=40$。
当$1.5＜x≤7$时,设y与x之间的函数关系式为$y=40x+b$,
将点$(3.5,120)$的坐标代入,得$120=40×3.5+b$,解得$b=-20$,所以$y=40x-20$。所以y与x的函数关系式为
$y=\left\{\begin{array}{l} 40x(0≤x≤1),\\ 40(1＜x≤1.5),\\ 40x-20(1.5＜x≤7)。\end{array}\right. $
(3)由题中图象可知,乙车的速度为$120÷(3.5-2)=80(km/h)$。
可设乙车行驶的路程y与时间x之间的关系式为$y=80x+n$。
将点$(2,0)$的坐标代入,得$0=80×2+n$,解得$n=-160$。
所以$y=80x-160$。
当$40x-20-50=80x-160$时,解得$x=\frac{9}{4}$,
此时乙车行驶的时间为$\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}(h)$；
当$40x-20+50=80x-160$时,解得$x=\frac{19}{4}$,
此时乙车行驶的时间为$\frac{19}{4}-2=\frac{11}{4}(h)$。
所以乙车行驶$\frac{1}{4}h$或$\frac{11}{4}h$时,两车恰好相距50 km。