《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

6. 有下列计算：
① $\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9} = 6$；
② $\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{4} × \sqrt{9} = 6$；
③ $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{5 + 4} × \sqrt{5 - 4} = 3$；
④ $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{5^{2}} - \sqrt{4^{2}} = 1$。
其中正确的有(B)。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

7. 化简$(\sqrt{3} + 2)^{99} × (\sqrt{3} - 2)^{100}$的结果是(C)。
A.-1
B.$\sqrt{3} - 2$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$-2 - \sqrt{3}$

答案： C

8. 【数学游戏】如图,在下面的表格中,横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都能得到同样的结果,则两个空格中的实数之积为(D)。
| $2\sqrt{3}$ | 1 | |
| 3 | $\sqrt{6}$ | 2 |
| | 6 | $\sqrt{3}$ |

A.$2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.6

答案： D

9. 计算：
(1) $\sqrt{\frac{2}{5}} × \sqrt{10} + \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}$；
(2) $(\sqrt{5} + 1)^{2} + (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)$。

答案：
(1)$\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{10}+\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{2}{5}×10}+\sqrt{\frac{32}{8}}=2+2=4$；
(2)$(\sqrt{5}+1)^{2}+(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=5+2\sqrt{5}+1+5-1=10+2\sqrt{5}$。

10. 【跨学科】在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍会滑行 $s$ m,一般地,有经验公式 $s = \frac{v^{2}}{300}$,其中 $v$ 表示刹车前汽车的速度(单位：km/h)。一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离 $s = 12$ m,则这辆汽车刹车前的速度 $v = $60 km/h。

答案： 60

11. 【数学文化】我国古代数学家秦九韶曾记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积。用符号表示即为：$S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2} - (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})^{2}]}$(其中 $a$,$b$,$c$ 为三角形的三边长,$S$ 为面积)。请利用这个公式求当 $a = \sqrt{5}$,$b = 3$,$c = 2\sqrt{5}$ 时的三角形的面积。

答案： 当$a=\sqrt{5}$，$b=3$，$c=2\sqrt{5}$时，$a^{2}=5$，$b^{2}=9$，$c^{2}=20$，所以$S=\sqrt{\frac{1}{4}×\left[5×9-\left(\frac{5+9-20}{2}\right)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{4}×\left[45-(-3)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{4}×(45-9)}=\sqrt{\frac{1}{4}×36}=3$。所以三角形的面积为3。