《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

5. 如图,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为12m,宽AB为3m,若该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高8m、宽2.3m,这辆货运卡车能否通过该隧道？

答案：
解:如图，在AD上取点G，使OG=2.3m，过点G作EG⊥BC于点F，交半圆于点E，连接OE，则GF=AB=3m，圆的半径OE=$\frac{1}{2}$AD=6(m)。
在Rt△OEG中，由勾股定理，得OE²=OG²+EG²，解得EG≈5.54m。
因为点E与BC的距离约为5.54m+3m=8.54m＞8m，所以这辆货运卡车能通过该隧道。

6. 如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,在边BC上有一点D,使3BD= 2CD,若AC= 17,AD= 10,则边AB的长为(C)。

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C

7. 【数学文化】如图,“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中,BC= a,AC= b,∠ACB= 90°,若图中大正方形的面积为42,小正方形的面积为5,求$(a+b)^2$的值。

答案： 解:因为4个小直角三角形的面积为4×$\frac{1}{2}$ab=42−5，所以2ab=37。
所以(a+b)²=a²+b²+2ab=42+37=79。

8. 【数学应用】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h。如图,一辆小汽车在一条笔直的城市街路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30m的B处,过了2s后,测得小汽车(C)与车速检测仪A之间的距离为50m,这辆小汽车超速了吗？

答案： 解:根据题意，得AB⊥BC，即∠ABC=90°，AB=30m，AC=50m。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC²=AB²+BC²，解得BC=40m。
所以这辆小汽车的速度为$\frac{40}{2}$=20(m/s)。
因为70km/h=$\frac{175}{9}$m/s≈19.4m/s＜20m/s，所以这辆小汽车超速了。

9. 如图,牧民在河边A处放牛,家在河边B处,时近傍晚,牧民驱赶牛群先到河边饮水,然后在天黑前赶回家。已知点A到河边C的距离为500m,点B到河边D的距离为700m,CD= 500m。
(1)在图中画出牧民回家的最短路线；
(2)求牧民回家的最短路程。

答案：
解:
(1)作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于点P，点P就是所求作的点，折线A→P→B是牧民回家的最短路线。
(2)由
(1)可得最短路程为A'B的长，过点A'作A'F⊥BD，交BD的延长线于点F，则DF=A'C=AC=500m，A'F=CD=500m，BF=700+500=1200(m)。
在Rt△A'BF中，由勾股定理，得A'B²=BF²+A'F²，解得A'B=1300m。所以牧民回家的最短路程为1300m。