《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

5. 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x - y = m + 3, \\x + 2y = 4 - m。\end{cases} $ 若 $x - 3y = 5$,则 $m = $3。

答案： 3

6. 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}7x + 3y = 4, \\5x - 2y = m - 1\end{cases} $ 的解能使等式 $4x - 6y = 10$ 成立,求 $m$ 的值。

答案： 1. 由题意，方程组的解满足$4x - 6y = 10$，联立$\begin{cases}7x + 3y = 4 \\4x - 6y = 10\end{cases}$
2. 解上述方程组：
①$7x + 3y = 4$两边乘2得：$14x + 6y = 8$
②与$4x - 6y = 10$相加：$14x + 6y + 4x - 6y = 8 + 10$
化简得：$18x = 18$，解得$x = 1$
将$x = 1$代入①：$7×1 + 3y = 4$，解得$3y = -3$，$y = -1$
3. 将$x = 1$，$y = -1$代入$5x - 2y = m - 1$：
$5×1 - 2×(-1) = m - 1$，即$5 + 2 = m - 1$，解得$m = 8$
$m = 8$

7. 当 $k$ 为何值时,方程组 $\begin{cases}x - 2y = 8 - k, \\3x + y = 4k\end{cases} $ 的解也是方程 $5x - 3y = 0$ 解？

答案： $k = -8$

8. 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 3y = n, \\3x + 5y = n + 2, \\x + y = 12\end{cases} $ 有解,求 $n$ 的值。

答案： 由方程组中的第三个方程$x + y = 12$，得$x = 12 - y$。
将$x = 12 - y$代入第一个方程$2x + 3y = n$，得：
$\begin{aligned}2(12 - y) + 3y &= n\\24 - 2y + 3y &= n\\24 + y &= n\\y &= n - 24\end{aligned}$
将$x = 12 - y$代入第二个方程$3x + 5y = n + 2$，得：
$\begin{aligned}3(12 - y) + 5y &= n + 2\\36 - 3y + 5y &= n + 2\\36 + 2y &= n + 2\\2y &= n + 2 - 36\\2y &= n - 34\\y &= \frac{n - 34}{2}\end{aligned}$
因为$y = n - 24$且$y = \frac{n - 34}{2}$，所以：
$\begin{aligned}n - 24 &= \frac{n - 34}{2}\\2(n - 24) &= n - 34\\2n - 48 &= n - 34\\2n - n &= -34 + 48\\n &= 14\end{aligned}$
$n = 14$

9. 甲、乙、丙三人合买一件物品,甲付的钱数是乙付的钱数的 2 倍,是丙付的钱数的 3 倍。已知甲比丙多付了 80 元,请问：这件物品的售价是多少元？
(1)设甲付了 $x$ 元,则乙付了$\frac{x}{2}$元,丙付了$\frac{x}{3}$元,根据题意列出的方程是$x-\frac{x}{3}=80$；
(2)设甲付了 $x$ 元,乙付了 $y$ 元,丙付了 $z$ 元,根据题意列出的方程组是$\begin{cases}x = 2y\\x = 3z\\x=z + 80\end{cases}$；
(3)请从(1)(2)中选择一种方法,求出这件物品的售价。
选(1)：
由$x-\frac{x}{3}=80$，
$\frac{2x}{3}=80$，
$2x = 240$，
解得$x = 120$。
乙付的钱数为$\frac{x}{2}=\frac{120}{2}=60$元，丙付的钱数为$\frac{x}{3}=\frac{120}{3}=40$元。
这件物品的售价是$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=120 + 60+40=220$元。
选(2)：
$\begin{cases}x = 2y\\x = 3z\\x=z + 80\end{cases}$
将$x = 3z$代入$x=z + 80$，得$3z=z + 80$，
$2z = 80$，
解得$z = 40$。
把$z = 40$代入$x = 3z$，得$x = 120$。
把$x = 120$代入$x = 2y$，得$y = 60$。
这件物品的售价是$x+y+z=120 + 60+40=220$元。
综上，这件物品的售价是220元。

答案：
(1)
设甲付了$x$元，因为甲付的钱数是乙付的钱数的2倍，则乙付了$\frac{x}{2}$元；又因为甲付的钱数是丙付的钱数的3倍，所以丙付了$\frac{x}{3}$元；根据甲比丙多付了80元，列出的方程是$x-\frac{x}{3}=80$。
(2)
设甲付了$x$元，乙付了$y$元，丙付了$z$元，根据题意列出的方程组是$\begin{cases}x = 2y\\x = 3z\\x=z + 80\end{cases}$。
(3)
选
(1)：
由$x-\frac{x}{3}=80$，
$\frac{2x}{3}=80$，
$2x = 240$，
解得$x = 120$。
乙付的钱数为$\frac{x}{2}=\frac{120}{2}=60$元，丙付的钱数为$\frac{x}{3}=\frac{120}{3}=40$元。
这件物品的售价是$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=120 + 60+40=220$元。
选
(2)：
$\begin{cases}x = 2y\\x = 3z\\x=z + 80\end{cases}$
将$x = 3z$代入$x=z + 80$，得$3z=z + 80$，
$2z = 80$，
解得$z = 40$。
把$z = 40$代入$x = 3z$，得$x = 120$。
把$x = 120$代入$x = 2y$，得$y = 60$。
这件物品的售价是$x+y+z=120 + 60+40=220$元。
综上，这件物品的售价是220元。