《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

9. 在长方形 $ ABCD $ 中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示。设小长方形的长、宽分别为 $ x $ cm,$ y $ cm,根据题意列出的方程组是(A)。

A.$\begin{cases}x - 2y + y = 6, \\ x + 3y = 14\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + 3y = 14, \\ x + 2y = 6\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + 3y = 14, \\ 2x - y = 6\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + 3y = 14, \\ x + y = 6\end{cases} $

答案： A

10. 小华从家到学校的路是一段平路和一段下坡路。假设他始终保持平路每分钟走 60 m,下坡路每分钟走 80 m,上坡路每分钟走 40 m,则他从家到学校需 10 min,从学校到家需 15 min。请解答下列问题：
(1)小华家离学校有多远？
(2)小华从家到学校到达全程一半位置处的时间与小华从学校到家到达全程一半位置处的时间会一样吗？如果不一样,哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由。

答案：
(1)设小华从家到学校的这段平路长为x m,下坡路长为y m。根据题意，得{x/60+y/80=10,x/60+y/40=15},解得{x=300,y=400}。所以x+y=700。所以小华家离学校700 m。
(2)不一样。第二种情况所花的时间更多。理由如下:全程一半位置处距离小华家和学校的距离为700÷2=350(m)。小华从家到学校到达全程一半位置处所需的时间为300÷60+(350 - 300)÷80=5.625(min);小华从学校到家到达全程一半位置处所需的时间为350÷40=8.75(min)。因为8.75 ＞ 5.625,所以,小华从学校到家到达全程一半位置处的时间比小华从家到学校到达全程一半位置处的时间要多一些。

11. 【综合与实践】小明准备了一个长方体的无盖容器和 $ A $,$ B $ 两种型号的钢球若干。先往容器里加入一定量的水,如图,水高度为 30 mm,水足以淹没所有的钢球。
(1)探究一：小明做了两次实验,先放入 3 个 $ A $ 型号钢球,水面的高度涨到 36 mm；把 3 个 $ A $ 型号钢球捞出,再放入 2 个 $ B $ 型号钢球,水面的高度恰好也涨到 36 mm。据此可知：放入一个 $ A $ 型号钢球水面会上升2mm,放入一个 $ B $ 型号钢球水面会上升3mm。
(2)探究二：小明把之前的钢球全部捞出,然后再放入 $ A $ 型号与 $ B $ 型号钢球共 10 个后,水面高度涨到 57 mm,求放入水中的 $ A $ 型号与 $ B $ 型号钢球各几个。
解:设放入水中的A型号与B型号钢球分别为x个,y个。根据题意，得{x+y=10,2x+3y=57 - 30},解得{x=3,y=7}。所以放入水中的A型号钢球3个,B型号钢球7个。

答案：
(1)2 3 解析:放入一个A型号钢球水面会上升(36 - 30)÷3=2(mm);放入一个B型号钢球水面会上升(36 - 30)÷2=3(mm)。
(2)解:设放入水中的A型号与B型号钢球分别为x个,y个。根据题意，得{x+y=10,2x+3y=57 - 30},解得{x=3,y=7}。所以放入水中的A型号钢球3个,B型号钢球7个。