《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

10. 如图,点A,B在直线l的同侧,已知AC⊥l于点C,BD⊥l于点D,且AC= 8,BD= 5,CD= 4,P为直线l上一动点,求PA-PB的最大值。

答案：
解:如图，连接PA,PB,AB。
因为PA - PB≤AB,所以
当A,B,P三点共线时,
PA - PB有最大值,最大值为AB的长。过点B作
BE⊥AC于点E。
因为BD⊥l,AC⊥l,所以CE=BD=5,BE=CD=4。所以AE=AC−CE=3。
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB²=AE²+BE²,解得AB=5。
所以PA - PB的最大值为5。

11. 【数学文化】(1)教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”。例如,著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边的长都为a,较小的直角边的长都为b,斜边的长都为c),大正方形的面积可以表示为c^2,也可以表示为4×$\frac{1}{2}$ab+(a-b)^2,所以4×$\frac{1}{2}$ab+(a-b)^2= c^2,即a^2+b^2= c^2。由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长分别为a,b,斜边的长为c,那么a^2+b^2= c^2。请你利用图②推导勾股定理。

(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC两直角边的长分别为3和4,求斜边上的高。
(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a-2b)^2= a^2-4ab+4b^2,并标出字母a,b所表示的线段。

答案：
解:
(1)S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$(a+b)(a+b)=$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²,S梯形ABCD=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²,
所以$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²。
即a²+b²=c²。
(2)因为直角三角形两直角边的长分别为3和4,所以斜边长为5。
设斜边上的高为h，由面积相等得$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×h,解得h=$\frac{12}{5}$。
所以斜边上的高为$\frac{12}{5}$。
(3)因为图形面积为
(a−2b)²=a²−4ab+4b²,所以边长为a−2b。
由此可画出的图形如右：