《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

8. 如图,直线 $ y = 2x + 4 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $, $ B $ 两点,$ C $ 是第二象限内一点,$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形,$ \angle C = 90^{\circ} $,则直线 $ BC $ 的函数表达式为 y=1/3x+4。

答案： y=1/3x+4

9. 甲、乙两人驾车都从 $ P $ 地出发,沿一条笔直的公路匀速前往 $ Q $ 地,乙先出发一段时间后甲再出发,甲、乙两人到达 $ Q $ 地后均停止。已知 $ P $, $ Q $ 两地相距 $ 200 km $,设乙行驶的时间为 $ t h $,甲、乙两人之间的距离为 $ y km $,表示 $ y $ 与 $ t $ 函数关系的部分图象如图所示。请解答以下问题:
(1) 由图象可知,甲比乙迟出发 ______,图中线段 $ BC $ 所在直线的函数表达式为 ______;
(2) 设甲的速度为 $ v_1 km/h $,求 $ v_1 $ 的值;
(3) 根据题目信息补全函数图象(不需要写出分析过程,但必须标明关键点的坐标),并直接写出当甲、乙两人相距 $ 32 km $ 时 $ t $ 的值。

答案：

(1)1 h y=15x-40解析:由题中图象可知,甲比乙迟出发1 h。设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+b,根据题意,得{0=8/3k+b,35=5k+b,解得{k=15,b=-40。所以线段BC所在直线的函数表达式为y=15x-40。
(2)设乙的速度为v₂ km/h,根据题意,得{8/3v₂=(8/3-1)v₁,(5-8/3)(v₁-v₂)=35,解得{v₁=40,v₂=25。所以甲的速度为40 km/h。
(3)如图: 根据题意,得40(t-1)-25t=32或25t=200-32。解得t=4.8或t=6.72。所以当甲、乙两人相距32 km时,t的值为4.8或6.72。

10. 【综合与实践】
如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l $ 是第一、三象限的平分线。
(1) 实验与探究:由图观察易知点 $ A(0,2) $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $ 的坐标为 $ (2,0) $,请在图中分别标明 $ B(5,3) $, $ C(-2,5) $ 两点关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $, $ C' $ 的位置,并写出它们的坐标:$ B' $ ______, $ C' $ ______;
(2) 归纳与发现:结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任何一点 $ P(m,n) $ 关于第一、三象限的平分线 $ l $ 的对称点 $ P' $ 的坐标为 ______;
(3) 类比与猜想:坐标平面内任一点 $ P(m,n) $ 关于第二、四象限的平分线 $ l' $ 的对称点 $ P' $ 的坐标为 ______;
(4) 运用与拓广:已知两点 $ D(0,-3) $, $ E(-1,-4) $,试在第一、三象限的平分线 $ l $ 上确定一点 $ Q $,使点 $ Q $ 到 $ D $, $ E $ 两点的距离之和最小,请求出这个最小的距离之和。

答案：
解:
(1)B',C'的位置如图。 (3,5) (5,-2)
(2)(n,m)
(3)(-n,-m)
(4)如图,在图中标出点D(0,-3)关于直线l的对称点D'(-3,0),连接D'E,D'E交直线l于一点,该点就是所求的点Q。 因为点D(0,-3)关于直线l的对称点为D'(-3,0),所以QD'=QD,所以QD+QE=QD'+QE=D'E。由“两点之间,线段最短”,得QD+QE的最小值为线段D'E的长。此时,最小距离和为D'E=2√5。