《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

1. 下列方程组是三元一次方程组的是(D)。
A.$\begin{cases}x + y - z = 1, \\x - yz = 6\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y = 3, \\2x - y = 5\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + y = 3, \\y + z = 4, \\m + z = 2\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y - z = 2, \\x - y + z = 9, \\x + 2y - z = 7\end{cases} $

答案： D

2. 校园文化艺术节期间,七、八、九三个年级一共选送了 70 个节目。八年级比七年级多选送了 15 个节目,七年级选送节目个数的 2 倍与八年级选送节目个数的和比九年级选送的多 35 个。七、八、九三个年级各选送了多少个节目？设七、八、九三个年级分别选送了 $x$,$y$,$z$ 个节目,根据题意列出的方程组是$\begin{cases}x + y + z = 70, \\y - x = 15, \\2x + y - z = 35.\end{cases}$。

答案： 方程组为：
$\begin{cases}x + y + z = 70, \\y - x = 15, \\2x + y - z = 35.\end{cases}$

3. 解方程组：
$\begin{cases}2x - y = 4, \\2x + y + z = 1, \\x - z = 5。\end{cases} $

答案： $\begin{cases}2x - y = 4, \quad① \\2x + y + z = 1, \quad② \\x - z = 5. \quad③\end{cases}$
由③得：$z = x - 5. \quad④$
① + ②得：$4x + z = 5. \quad⑤$
将④代入⑤：$4x + x - 5 = 5$
$5x = 10$
$x = 2$
将$x = 2$代入①：$4 - y = 4$
$y = 0$
将$x = 2$代入④：$z = 2 - 5 = -3$
$\therefore\begin{cases}x = 2 \\y = 0 \\z = -3\end{cases}$

1. 解方程组 $\begin{cases}x + y + z = 6, \\x - y = 1, \\2x - y + z = 5\end{cases} $ 时,可选择消去未知数$z$,得到的二元一次方程组是$\begin{cases}x - 2y = -1, \\x - y = 1.\end{cases}$。

答案： $z$，$\begin{cases}x - 2y = -1, \\x - y = 1.\end{cases}$

2. 已知代数式 $ax^2 + bx + c$,当 $x = 1$ 时,值为 $-4$；当 $x = 2$ 时,值为 $3$；当 $x = 4$ 时,值为 $35$。当 $x = 3$ 时,代数式的值等于16。

答案： 16

3. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}, \\3x + 4y + 2z = 64；\end{cases} $
(2)$\begin{cases}x + y = 7, \\y + z = 9, \\x + z = 10。\end{cases} $

答案：
(1)
设$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = k$，则$x = 2k$，$y = 4k$，$z = 5k$。
代入$3x + 4y + 2z = 64$，得：
$3(2k) + 4(4k) + 2(5k) = 64$
$6k + 16k + 10k = 64$
$32k = 64$
$k = 2$
$\therefore x = 2×2 = 4$，$y = 4×2 = 8$，$z = 5×2 = 10$
解为 $\begin{cases} x = 4 \\ y = 8 \\ z = 10 \end{cases}$
(2)
$\begin{cases} x + y = 7 &① \\ y + z = 9 &② \\ x + z = 10 &③ \end{cases}$
① + ② + ③，得：$2x + 2y + 2z = 26$，即$x + y + z = 13$ ④
④ - ①：$z = 13 - 7 = 6$
④ - ②：$x = 13 - 9 = 4$
④ - ③：$y = 13 - 10 = 3$
解为 $\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \\ z = 6 \end{cases}$

4. 已知甲、乙、丙三数之和是 26,甲数比乙数大 1,甲数的 2 倍与丙数的和比乙数大 18,求这三个数。

答案： 解：设甲数为$x$，乙数为$y$，丙数为$z$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y + z = 26 \\x - y = 1 \\2x + z - y = 18\end{cases}$
由第二个方程得：$x = y + 1$。
将$x = y + 1$代入第一个方程：$(y + 1) + y + z = 26$，化简得$2y + z = 25$，记为方程④。
将$x = y + 1$代入第三个方程：$2(y + 1) + z - y = 18$，化简得$y + z = 16$，记为方程⑤。
方程④减方程⑤：$(2y + z) - (y + z) = 25 - 16$，解得$y = 9$。
将$y = 9$代入$x = y + 1$，得$x = 10$。
将$y = 9$代入方程⑤，得$9 + z = 16$，解得$z = 7$。
所以，甲数为$10$，乙数为$9$，丙数为$7$。