《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

6. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 8$,$BC = 15$,$AC = 17$,则下列结论不正确的是(D)。
A.$\triangle ABC$ 是直角三角形,且 $AC$ 为斜边
B.$\triangle ABC$ 是直角三角形,且 $\angle ABC = 90^{\circ}$
C.$\triangle ABC$ 的面积为 60
D.$\triangle ABC$ 是直角三角形,且 $\angle A = 60^{\circ}$

答案： 6.D

7. 如果一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4,那么第三边长的平方是(D)。
A.25
B.14
C.7
D.7 或 25

答案： 7.D

8. 如果 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $m^{2}-1$,$2m$,$m^{2}+1(m ＞ 1)$,那么下列结论正确的是(A)。
A.$\triangle ABC$ 是直角三角形,且斜边的长为 $m^{2}+1$
B.$\triangle ABC$ 是直角三角形,且斜边的长为 $2m$
C.$\triangle ABC$ 是直角三角形,且三边长中,斜边的长需由 $m$ 的大小确定
D.无法判断 $\triangle ABC$ 是不是直角三角形

答案： 8.A

9. 如图,每个小正方形的边长为 1,则 $\angle ABC$ 的度数为 45°。
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答案： 9.45°

10. 【综合与实践】某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度,通过测量,得到如下记录表：

请解答下列问题。
(1) 求风筝离地面的垂直高度 $AD$；
(2) 如果小明想要风筝沿 $DA$ 方向再上升 12 m,$BC$ 长度不变,那么他应该再放出多长的线？

答案： 10.解:
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15 m,AB=17 m,由勾股定理,得AB²=BC²+AC²,解得AC=8 m,所以AD=AC+CD=8+1.7=9.7(m)。所以风筝离地面的垂直高度AD为9.7 m。
(2)由风筝沿DA方向再上升12 m后,AC=20 m,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB²=BC²+AC²,解得AB=25 m。25-17=8(m)。所以他应该再放出8 m长的线。

11. 学习了勾股定理后,我们对“勾三、股四、弦五”有了更理性的理解。
观察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且是从 3 起的连续奇数。
(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11,60,61；
(2) 用字母 $n(n\geqslant3$,且 $n$ 为奇数 $)$ 表示勾,写出股和弦,并用所学知识说明它们是一组勾股数。
股和弦分别为$\frac{n^{2}-1}{2}$和$\frac{n^{2}+1}{2}$。因为$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=n^{2}+\frac{n^{4}-2n^{2}+1}{4}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,$(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,所以$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}$(n≥3,且n为奇数)。所以n,$\frac{n^{2}-1}{2}$,$\frac{n^{2}+1}{2}$(n≥3,且n为奇数)是一组勾股数。

答案： 11.解:
(1)11,60,61
(2)股和弦分别为$\frac{n^{2}-1}{2}$和$\frac{n^{2}+1}{2}$。因为$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=n^{2}+\frac{n^{4}-2n^{2}+1}{4}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,$(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,所以$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}$(n≥3,且n为奇数)。所以n,$\frac{n^{2}-1}{2}$,$\frac{n^{2}+1}{2}$(n≥3,且n为奇数)是一组勾股数。