《2025年伴你学北京师范大学出版社八年级数学上册北师大版山西专版》

14. 【数学文化】阅读与思考：
欧几里得数

一般地,给定单位长度$1$,一个数如果可以借助图形构造出来,我们就称这个数为欧几里得数。例如,如图①所示的方格图中,设每个小正方形的边长为单位长度$1$。借助方格图,可以构造出线段$AB$,$CD$,$EF$,它们分别表示正整数$2$,$3$,$4$；也可以构造出线段$MN$,它表示正分数$\frac{1}{2}$。事实上,所有的正有理数都是欧几里得数。
任务：
如图②,图③,图④,图⑤所示的方格图中,每个小正方形的边长均为单位长度$1$。
(1) 请在图②中用两种方法构造线段表示正整数$5$(该线段的端点均为格点)；

(2) 小彬从材料中的结论出发展开联想,经过探究,发现正无理数$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$也是欧几里得数,可分别用图③中两个三角形的边$XY$,$PQ$表示。
其思考与作图方法如下：
$\sqrt{2}= \sqrt{1^{2}+1^{2}}$,取网格中$MX= MY= 1$,且$\angle XMY= 90^{\circ}$,连接$XY$,则$XY= \sqrt{1^{2}+1^{2}}= \sqrt{2}$。
$\sqrt{3}= \sqrt{2^{2}-1^{2}}$,取网格中线段$ON= 2$,$OQ= 1$,以点$O$为圆心、$ON长为半径作弧交网格线于点P$,连接$OP$,且$PQ\perp OQ$,则$PQ= \sqrt{3}$。
① 在图④中借助网格和尺规,用两种方法构造三角形,使三角形的一边表示欧几里得数$2\sqrt{2}$(保留作图痕迹,不写作法)；
② 在图⑤中借助网格和尺规,用两种方法构造三角形,使三角形的一边表示欧几里得数$2\sqrt{3}$(保留作图痕迹,不写作法)。
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答案：
(画法不唯一)解:
(1)如图①,线段AB,CD为所作。
(2)①如图②,线段AC,EF为所作;②如图③,线段PQ,MN为所作。